B T .
(iii)设T1 T,对任意 x AT1 A,则存在 U T，使得 且U x U , 由于 U T1 T，
AT1
A, 由条件(3)有
AT1 A U x .因此， A T. 因此我们证明了T 是
AT1
X的一个拓扑.
对每一点x X , 以 U x 记点x在拓扑空间(X, T )
A1 不满足定义2.1.1条件(3), A 2不满足定义2.1.1条件(2) 例2.1.4 有限补拓扑 设X是一个集合，首先注意，当我们考虑的问题 中的全集自明时，在求补集运算时我们并不每次 提起，因此在本例中，A的补集A即为X－A.令 Tf {U P( X ) | U c是X的一个有限子集} {}
上最粗的拓扑，离散拓扑 T =P (X)是X上最细的拓扑. 当然，同集合上不可比较的拓扑是存在的，例如 X {a, b, c}, T1 {{a},{a, b}, X , } ,T2 {{b}, {b, c}, X , } ，那么
T1 与 T2 就是X的两个不可比较的拓扑.
习 题 §2.1
T8 {{a},{b},{a, b}, X , }
T9 P ( X )
当然，通过对以上拓扑中a,b,c的不 同排列，我们在X上还可建立其它拓 扑结构.但是,并不是X的每个子集族 都是X的拓扑.
例如，下面的两个X的子集族就不是X的拓扑.
A1={{a},{b},X, }
A2={{a,b},{b,c},X, }
*
中的邻域系.下面证明U x U x .
*
(i)设 U U x , 由条件(4)可知存在 V U x使得
V U , 且对任意 y V 有 V U y , 因此 V T ,从
而 x V U , 且 V T ,由定义2.2.1可知 U U x* , 因此 U x U x * .
T1 {, X }
T2 {{a}, {a, b}, X , }
T3 {{b},{a, b},{b, c}, X , }
T4 {{b}, X , }
T5 {{a}, {b, c}, X , }
T6 {{b}, {c}, {a, b}, {b, c}, X , }
T7 {{a, b}, X , }
V U x .
(3) 设U U x , 且 U V , 则存在开集 U 0 使得
x U0 U , 从而有 x U 0 V ,因此 V U x .
U x , 由定义2.1.1则存在开集 V 使得 (4) 设U
x V U , 因此V是x的开邻域.因此 V U x . 由于
设X是一个集合,令 T P ( X ) ,显然,T 是X的一
个拓扑, 称之为X的离散拓扑,并且称拓扑空间(X,T ) 为一个离散空间,在离散空间中, X的每一个子集都 是开集.
例2.1.3 设X是一个三元素集合, X {a, b, c}, 我 们 X上可以构造不同的拓扑,下面我们介绍其中一些 拓扑.
J
§2.2 拓扑基与邻域系,邻域基 重点：邻域的定义，性质，邻域基的定义 难点：由邻域系决定拓扑方法的证明
定义2.2.1 设(X, T )是一个拓扑空间,x X，如果 U是X的一个子集且满足条件: 存在一个开集V T 使 得x V U,则称U是点x的一个邻域. 点x的所有邻域 构成的X的子集族称为点x的邻域系. 易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么一 定是x的一个邻域，设X是一个集合，令 TC ={U X|X-U是X的一个可数 子集} { } 通过与例2.1.4中完全类似的作法易验 证T 是X的一个拓扑(留作习题),称之为X的可数补拓 扑,拓扑空间(X,TC )称为一个可数补空间. 读者自行验证，若X是一个可数集，则 TC P(X ). 即可数集合X的可数补拓扑是X的离散拓扑.
V是开集，因此由定理2.2.1可知V是它每一点的邻域, 即对每个 y V , V U y . 定理2.2.3 设X是一个集合, 又设对于每一点x X 指定 了X的子集族U x,并且它们满足定理2.2.2中的条件(1)
T = {U X|如果x U,则U U x }, 则 T 是 X 唯一 -(4),令
定义2.2.2 设(X, T )是一个拓扑空间,对每个x X ,
U x 是x点在(X,T )中的邻域系,如果 B x U x且满足条件：
第二章 拓 扑 空 间
§2.1
拓扑空间 §2.2 拓扑基与邻域系,邻域基 §2.3 度 量 拓 扑 §2.4 闭集,闭包 §2.5 导集,内 部, 边 界 §2.6 拓扑空间中的序列 §2.7序 拓 扑
§2.1 拓 扑 空 间

重点：拓扑空间定义的理解 难点：拓扑空间定义的理解

定义2.1.1 设X是一个集合,T P ( X ) (P(X )表示X的幂 集),即 T 是X的一个子集族.如果T 满足如下条件: (1)
(ii)设U U x* , 由定义2.2.1可知存在 V T ,
使得 x V U * , 显然根据 T 的定义V U x , 由条件
(3)可知 U U x , 因此 U x* U x .从而我们证明了
U x* U x ,即子集族 U x 恰是点x在(X, T )中的邻域系.
(2) 任意两个开集的交集是开集 (3) 任何开集族的并是开集.
T P ( X ) 是X的拓扑的条件可以叙述为:
(1) X的任意有限开集族的交是开集. (2) X的任意开集族的并是开集.
例2.1.1 平庸空间 设 X 是一个集合，令 T { X , } ，易验证 T 是X的一个拓扑，称之为X的平凡拓扑，并且我们 称拓扑空间(X, T )为一个平凡空间.显然在平凡空 间中只有两个开集，即X自身和空集 . 例2.1.2 离散空间

下面证明拓扑 T 的唯一性,为此我们假定 T* 是X的又一个拓扑使得对于 x X , U x是点x在拓 扑空间(X, T* )的邻域系,然后证明 T = T* . (i)设 U T , 即 U 是拓扑空间(X, T* )中的开 集, 又假定 U x 是x点在(X, T* )中的邻域系,因此由
定理2.2.1 拓扑空间(X,T )的一个子集U是开集的 充分必要条件是U是它的每一点在(X,T )中的邻域.即
只要xU,U便是x的一个邻域.
证明:必要性.若U是开集，则对每点x X,U即 是x的一个开邻域. 充分性.若U= ，显然U是开集，若U , 则对x U， 由于U是邻域，由定义2.2.1，必存在开集
由定理2.2.1可知对于任意 x U , U U x , 再由T 的定 义有 U T , 因此 T T .
T）中的开集，又已证明 (ii)设 U T , 即U是（X， T）中的邻域系，因此对于任意 x U , U x 是x点在（X，
必有 U U x , 然而又假定 U x 是x点在（X, T* ）中的邻 域系，由定理2.2.1的充分性可知 U T , 因此 T T* . 综合(i)(ii)知 T = T* .
的一个拓扑使得对于每一点 x X ,子集族U x 是点x在
拓扑空间(x,T )中的邻域系. 证明:
T {U X | 如果x U , 则U U x }
即 T {U X | U是它的每一点的邻域 }
下面验证T 是X的一个拓扑. (i)显然 T ;对于任意 x X ,由条件(1),U x , 取
即 Tf {U X | X U 是X的一个有限子集} {} 先验证 Tf 是X的一个拓扑.
(1) 根据定义 T f ,此外，由于 X X ,
因此 X Tf . 若A 或者 B ，则 (2) 设 A, B T f ，
A B T f ； 假定 A , B ，由De Morgan
1. 验证例2.1.5中集族Tc 是X上的拓扑. 2. 对每一个正整数 n Z ，令 An {m Z | m n}，证明
T {An | n Z } {}是正整数集Z+的一个拓扑.
3. (1)设T1 和T2 是集合X上的两个拓扑,证明 T1 T2 也是X的 拓扑.
U x ,则 U (2) 如果U,V
V U x ;
(3) 如果U U x ,并且U V,则 V Ux;
(4) 如果 U U x ,则存在V U x 满足条件
(i ) V U ; (ii ) 对于 y V ,有V U y .
证明 : (1) 对于任何 x X , 由于X是一个开集,因此X是
(2) 举例说明T1 T2 可以不是X上的拓扑，其中 T1 ，T2 是 X上的两个给定拓扑. (3) 设 X {a, b, c}，T1 {, X ,{a}, {a, b}},
T2 {, X ,{a}, {b, c}}找出包含 T1 和 T2的最粗的拓扑和包含
于 T1 和T2 的最细的拓扑. 4. 设{ T }J 是集合X上的一族拓扑,证明在X上存在一 个最细的拓扑空间包含于每个 T 之中,在X上存在一个最粗的 拓扑包含着每个T . (提示:设{ T }J 是X上一族拓扑,则 T 是X上的一个拓扑).
U U x , 显然有 x U X , 由条件(3)可知 X 是点 x
的邻域,因此 X T . (ii)设 A, B T,如果 x A B, 因此 x A, x B , 因此 必有 A, B U x ,由条件(2)可知 A B U x ,由 x 的任
.
意性可知 A
' T, T 定义2.1.2 设 是集合X上的两个拓扑 ,如果 ' ' ' ' T T T T ,我们称 比T 细, 或称T 比 粗,如果T T ,
我们称 T 比 T 严格细,或称T 比 T 严格地粗.如果