微分算子法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6高阶常微分方程的微分算子法撰写摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。

但是有一个例外：常系数线性微分方程。

我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。

本节主要讨论微分算子法。

1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n y D y =，将方程写成32230D y D y Dy --=或32(23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程32230D D D --=得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x x e e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解 3123x xy C C e C e -=++注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是1111()()()()()nn n n n n n d y d ydy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=其中系数1(),,()n a x a x 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成11()(()())n n n L y D a x D a x y -≡+++()f x =可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。

本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。

2.求解 61160y y y y ''''''-+-= 解 写成 32(6116)0D D D y -+-=从特征方程3206116D D D =-+-(1)(2)(3)D D D =---解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解 23123x x x y C e C e C e =++ 3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根 1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3x e x ，2sin 3x e x 从而通解是22123cos3sin 3x x x y C e C e x C e x -=++ 4.求(4)45440y y y y y ''''''-+-+=之通解. 解 写成432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+=特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++5.求1(cos )y y x -''+=的通解解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+ 设原方程有特解形为*12()cos ()sin y C x x C x x =+其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组12112()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩或12112()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6(方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得1sin ()cos xC x x'=-，2()1C x '=或 1()ln cos C x x =，2()C x x = 最后得通解为1*()()()y x y x y x =+12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x=+++ 注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。

6.求解下列方程(1)(4)24250y y y y y ''''''++--= (2)4850y y y '''-+= 解 (1)12x x y C e C e -=+34(cos 2sin 2)x e C x C x -++(2)12(cos sin )22x x xy e C C =+7.求解下列cauchy 问题 (1)330;y y y y ''''''-+-=(0)1,(0)2,(0)3y y y '''===(2)0;(0)1,(0)0,(0)1y y y y y ''''''''+==== 解 (1) (1)x y e x =+(2) x y x e -=+ 8.求解非齐次方程21(0)y y y x x x'''++=≠解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程20y y y x'''++=的两个线性无关的特解。

现设用观察法得到两个特解12sin cos ,x xy y x x== 令12sin cos ()()()x xy x C x C x x x=+考虑方程组1212sin cos ()()0sin cos 1()()()()x x C x C x x xx x C x C x x x x ⎧''+=⎪⎪⎨⎪''''+=⎪⎩最后解得1()sin C x x =，2()cos C x x = 故原方程的通解为12sin cos 1()x x y x C C x x x=++注 我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的是线性方程，因此我们就从它开始。

因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。

这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法9.求解256y y y x '''++=解 写成 2(2)(3)D D y x ++=故对应齐次方程(2)(3)0D D y ++=的通解为 23112()x x y x C e C e --=+今用下法求原方程的一个特解*()y x ，显然*()y x 满足*2(2)(3)D D y x ++= 今用下法求出*()y x*21()(2)(3)y x x D D =++仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6222222222222222222222211()23112311112311231(1)2241(1)31(1)2241(1)3111(()())224111(()())33911122()()223391561x D D x x D D x x D DD D x D D x D D x D D xx x x x x x x x x x x =-++=-++=-++=-+---+-=-+--+'''=-+'''--+=-+--+=- ３９ ３９ 198108x +通解为*123212()()()1519618108xxy x y x y x C e C e x x --=+=++-+注 本题所用的方法即微分算子法，此法核心内容是将求导运算D 同时当作数与运算来处理，上法中1(2)(3)D D ++视为(2)(3)D D ++的逆运算，经分层部分分式后，又将D 作为数，将11D+展开或读作除数，最后，又将2,,D D 恢复其运算功能。

至此，积分微分方程问题已变为求导问题。

上述方法有其严密的理论根据，但本法早在20世纪30~40年代已在工程师中间广为流传，理论工作于20世纪50年代初才完成。

10.给定一个微分算子111n n n n n L D a D a D a --=++++ (,1,2,,)i a i n =为常数则对任一有n 次导数的函数()g x ，得到唯一的函数()f x(())()n L g x f x =今定义逆运算1(())()nf xg x L =g 恰为微分方程(())()n L g x f x =的一个特解。

证明下列事实：(1)给定f 后，g 不唯一(2)对任一常数,a b 及连续函数(),()h x g x ，有下式成立 111(()())(())(())n n nah x bg x a h x b g x L L L +=+ (3)设有另一微分算子11m m m L D a D -=++m a +，则1111(())(())m m n ng x g x L L L L = (4)有下式成立1111(())(())()()k n k g x g x L D D ρρλλ=-- 证明 (1)设1()g x 是方程()0n L y =的特解，则有1(()())(())()n n L g x g x L g x f x +== 故11(())()()nf xg x g x L =+(2)与(3)直接从定义推出；(4)从(3)以及定，此处+1n a λ-++e ()kx kx f x e =仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6()kx kxf x e =1sin ()F ik =1)()1)(1()n n kxD D e F k ρρ---= )x())kx g x e g ρ+2)()D k -11))n m m a D b b -++++++++ 0时，此时宜用cos sin kx i +以上两题旨在建立我们算子法的理论基12.求下面方程的特解 2226x d yy e dx-=解 2222211()(6)62121x x x y x e e e D ===--13.求方程2442x y y y e '''-+=的一个特解解 221()244x y x e D D =-+ 22222212(2)121(22)121xx x e D e D e D=-=+-=设211()g x D=，则2()1D g x =，即可知 21()2g x x =故最后可得22()x y x x e =也可以直接安照文登考研书的解法即如不懂，可参看我在豆丁上仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6222222221()24412(2)122xx x xy x e D D e D x e x e =-+=-== 14.解x y y e ''-=解 2111()1(1)(1)x x y x e e D D D ==--+ 1111112122x x x e e xe D D ===-得通解为121()2x x x y x xe C e C e -=++15.求下面方程特解 2552y y x x '''-=-+解 221()(52)5y x x x D D =-+- 2222222311(52)5111()(52)51511()[1()](52)555111()[52(102)551(10)]2511()[5]5113x x D D x x DD D Dx x D x x x D x D x x D =-+-=--+-=-++-+=--++-++-=--==　16.求26535x y y y e x '''-+=-+ 解 显然12()()()y x y x y x =+其中121()(3)65x y x e D D =--+1(3)(1)(5)x e D D --- 221()(5)(1)(5)y x x D D =-- 今有11111()(3)(3)15115x xy x e e D D D =-=-----3131314144x x x e e xe D D ===- 22111()()(5)415y x x D D =-+--222221111()(5)4151511(1(1))(5)455256212255x D D D D D D x x x =---=++--+=++ 最后得236212()4255x y x xe x x =+++17.求6cos 23sin 2y y x x ''+=+的特解 解 12()()()y x y x y x =+2222116cos 23sin 211116cos 23sin 2(2)1(2)12cos 2sin 2x x D D x x i i x x =+++=+++=-- 18.求下面方程的特解 13sin 2y y y x '''++=-解21()(13sin 2)1y x x D D =-++ 22224224221[()1]()11(13)sin 211[1](13)sin 211(13)(1)sin 2(2)(2)1(1)sin 23sin 22cos 2D D D D xD D D D x D D D D xi i D D xx x=--+--+⨯-++=-+-++=--+++=--+=+ 19.求下面方程的特解 44cos 2y y y x '''++= 解 2()[(2)]y x D =-+2211cos (2)(2)x D D -++仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢62221(2)cos 2(4)D x D =--222cos 1(2)sin 2((2)4)8x D x i =-=- 20.求2sin y y x ''+=的特解解 因2()10i +=，上法无效，今取1sin []2ix ix x e e i -=-(*)则特解211()([])1ix ix y x e e D i -=-+2222111([])11111[11]()1()111111[11]22111[]2212[]2ix ix ix ix ix ix ix ix ix e e i D D e e i D i D i e e i D i D D i D e x e x i D i D ilm e x D i----=-++=-++-+=-+-=-+-=+ lmz 表示复数zi 虚部，今1112212ixix e x e x DD i i i=++ 111[1]()222211cos sin (cos sin )422ix ix D e x e x i i i i x x x i x x x =-=-=--+故1()cos sin 2y x x x x=--21.求下面方程的特解 cos x y y e x x ''-= 解 今有(1)(1)1cos ()2x i x i x e x x xe xe+-=+(1)Re()i x xe +=(Re z 表示复数z 的实部)故可写成(1)21()Re()1i x y x e x D +=-而(1)(1)22111(1)1i x i xe x e x D D i ++=-++- (1)i xe +=)(1(1)11412(cos sin )[()(2)5]55i x x i x e e e x i x x i x ++==-+-++=故1422()[()cos ()sin ]525525x x y x e x x x =-+++22.求解方程33(5)x y y y y e x -''''''+++=-解 3311()(5)(5)(1)x x y x e x e x D D --=-=-+ 设31()(5)g x x D=-，则3()5D g x x =-故知435()246x g x x =- 最后得通解 32123()(20)24xxxxx y x C e C xe C x e e x ----=+++-注 这一批例题充分反映出算子方法的特点，简捷，灵巧，清楚。