微分算子法小结一、n 阶微分方程 1、二阶微分方程：22d y d x+p(x)xd dy +q(x)y=f(x)2、n 阶微分方程： y (n)+a 1y (n-1)+a 2y (n-2)+a 3y (n-3)+ ... +a n y=f(x)二、微分算子法 1、定义符号：Dx =d d ，D 表示求导，如Dx 3=3x 2，D n y 表示y 对x求导n 次；D1表示积分，如D1x=x 212 ,nD1x 表示对x 积分n 次，不要常数。

2、计算将n 阶微分方程改写成下式：D n y +a 1D n-1y +a 2D n-2y +a 3D n-3y + ... +a n-1Dy +a n y=f(x) 即 （D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n ）y=f(x) 记F(D)=D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n规定特解：y *=)(F(D)1x f3、F (D )1的性质(1)性质一：F(D)1e kx=F(k)1e kx(F (k) 不等于0）注：若k 为特征方程的m 重根时，有F (D )1e kx= xm(D)F1(m)e kx= x m(k)F1(m)ekx(2)性质二：F(D)1e kxv (x)= ekx k)F(D 1+v (x)(3)性质三：特解形如F(D)1sin(ax)和 F(D)1cos(ax) i.考察该式（该种形式万能解法）：F(D)1eiax利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部作为原方程的特解 注：欧拉公式 eiax= cos(ax)+i sin(ax)虚数 i 2= -1ii.若特解形如) F(D 12sin(ax)和) F(D 12cos(ax)，也可按以下方法考虑： 若F (-a 2)≠ 0，则)F (D 12sin(ax)=)F(-a 12sin(ax))F(D 12cos(ax)=)F(-a 12cos(ax)若F (-a 2)= 0 ，则按i.进行求解，或者设-a 2为F (-a 2)的m 重根，则)F(D 12sin(ax)=x m)(D F12(m)sin(ax))F(D12cos(ax)=xm)(D F 12(m)cos(ax)(4)性质四（多项式）：F(D)1（x p +b 1x p-1+b 2x p-2+...+b p-1x+b p ）= Q(D)（x p+b 1x p-1+b 2x p-2+...+b p-1x+b p ） 注：Q (D)为商式，按D 的升幂排列，且D 的最高次幂为p 。

(5)性质五（分解因式）:)(F(D)1x f =)()(F (D)F 121x f D •=)()(F (D)F112x f D •(6)性质六: ))()((F(D)121x f x f +=)(F(D)1)(F(D)121x f x f +三、例题练习例1.22d y d x+4y =e x则(D 2+4)y =ex,特解y *=412+De x=4112+e x=51e x(性质一)例2、 y (4)+y =2cos(3x ），则(D 4+1)y = 2cos(3x ） 特解y*=114+D 2cos(3x ）= 2114+D cos(3x ）= 21)3-(122+cos(3x ）=411cos(3x ）(性质三)例3、22d y d x-4xd dy+4y = x 2e2x,则(D 2-4D +4)y = x 2e2x特解y*=+44-12D D x 2e2x= e2x2-212）（+D x 2= e 2x 12Dx 2=121x 4e 2x（性质二）例4、33d y d x-322d yd x+3xd dy - y =e x,则(D 3-3D 2+3D -1)y =ex特解y*=31-1）（D e x=e x31-11）（+D •1=e x 31D•1=61x 3ex(性质二）例5、33d y d x-y =sinx ,则(D 3-1)y =sinx ,特解y *=1-13D sinx考察1-13De ix1-13De ix =1-i13e ix=1i 1-+e ix=21-i eix=21-i (cosx +i sinx)=-21(cosx +sinx)+i21(cosx -sinx)取虚部为特解y *=21(cosx -sinx) (性质一、三)例6、22d y d x+y =cosx ，则(D 2+1)y =cosx ，特解y*=112+D cosx考察112+De ix112+De ix =i)i)(D -(1+D e ix=i)i)(D -(1+D eix=i 2i)-(1•D e ix=eixi)-i (i 21+•D •1=-2i x eix=21xsinx -i 21xcosx取实部为特解y *=21xsinx (性质一、二、三）例7、44d y d x-y =e x，则(D 4-1)y = e x特解y *=1-14De x=)11)(D 1)(D -(12++D e x=)11)(11)(1-(12++D ex=1-1D •2121•e x=1-1D 41ex=41ex1-11+D •1=41x e x（性质一、二、五）例8、22d ydx+y =x2-x +2 , 则(D 2+1)y = x 2-x +2特解y *=112+D (x2-x +2)=(1-D 2)(x 2-x +2)=x 2-x (性质四)例9、22d y d x+2xd dy +2y =x2e -x,则(D 2+2D +2)y =x 2e-x特解y*=1)1(12++D x 2e-x=e-x1)11-(12++D x 2 =e-x112+D x 2=e-x(1-D 2)x2=e -x(x 2-2)（性质二、四）例10、22d y d x+y =xcosx ，则(D 2+1)y =xcosx ，特解y *=112+D xcosx ，考察112+D x eix112+Dx eix=i)i)(D -(1+D x e ix=eixi)i i)(D -i (1+++D x=eixi)2(D 1+D x =eix )4i21(1D D +x=e ix )41i 2x (1+D x =eix )x 41i 4x(2+x =(cosx +i sinx))x 41i 4x(2+x =41(xcosx +x 2sinx)+i41(xsinx-x 2cosx)取实部为特解y *=41(xcosx +x 2sinx) (性质二、三、四）。