二次根式
题型一 二次根式的定义
例1、（1）18n -是整数，求自然数n 的值．
（2）当x __________时，式子3
1
-x 有意义．
题型二 二次根式有意义的条件
例2、当x 时，二次根式1x +有意义。
例3、已知x 、y 为实数，22991
3
x x y x -+-+=-，求5x+6y 的值．
例4、已知334y x x =-+-+，求23
8163y y xy ++-的值。
题型三 二次根式的性质与化简
例5、已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示：
试化简(
)
(
)
2
2
223
23
2a b a ab b +-
---+
例6、计算 （1）()
13218---+ （2）()2
11111x x x ⎛⎫-•- ⎪-+⎝⎭
（3）已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简
2
2
22d c ab d c ab +-＝______．
例7、化简求值 （1）化简：()
2
2a a b c a b c -++-++
（2）先化简再求值：2
22
11xy x y x y x y ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中21,21x y =+=-
（3）若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝（ ）
（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y
（4）若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1
(2-+x
x 等于（ ）
（A ）x 2 （B ）－x
2
（C ）－2x （D ）2x
（5）化简a
a 3
-(a ＜0)得（ ）
（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a
（
6）当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为（ ）
（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---
题型四 最简二次根式
例8、（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A （2）x 8，3
1
，29x +都不是最简二次根式．（ ）
题型五 二次根式的乘除法
例9、已知(3m ⎛=-⨯- ⎝⎭
，则有（ ） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．-5＜m ＜-4 D ．-6＜m ＜-5
例10、计算
（1）（235+-）（235--）
（2）（a ＋b
a ab
b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．
（3）（a 2m n －m
ab
mn ＋
m n
n m ）÷a 2b 2m
n
（4）（a ＋b
a ab
b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．
（7
题型六分母有理化
A．a=b B．ab=1 C．ab=-1 D．a=-b
A.
题型七同类二次根式
A.
（2）ab 、3
1b a 3、b
a
x 2-
是同类二次根式．（ ）
题型八 二次根式的加减法 例15、计算
－7114-
（3
（5）75.0125.2041
12484--+- （6）
题型九二次根式的混合运算 例16、计算
（1
（3）- （4）（a 2m n －m
ab
mn ＋
m n
n m ）÷a 2b 2m
n ；
（5）（25＋1）（2
11+＋321+＋431+＋…＋100991
+）．
题型十 二次根式的化简求值
（2
（3）已知x ＝2323-+，y ＝2
32
3+-，求3
2234232y x y x y x xy x ++-的值．
（4）已知：,x y 为实数，且13y
x -+，化简：3y -
（5）当x ＝1－2时，求
2
2
2
2
a
x x a x x
+-+＋
2
2
2
222a
x x x a x x +-+-＋
2
2
1a
x +的值．
（6）当x ＝1－2时，求2
2
2
2
a
x x a x x
+-+＋
2
2
2
222a
x x x a x x +-+-＋
2
2
1a
x +的值．
（7）若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－x
y y x +-2的值．
课后作业
一、选择题（每题3分，共30分）
1、下列代数式中，属于二次根式的为（ ）
A 、
B 、
C 、 (a ≥1) D
、 3x 1-a 2-a
2．二次根式(-3)2 的值是（ ）
（A ）-3 （B ）3或-3 （C ）3 （D ）9 3．下列各式计算正确的是（ ）
（A ）23+42＝6 5 （B ）27÷3＝3 （C ）33+32＝3 6 （D ）(-5)2 ＝-5
4
．在二次根式①
②
③
④中最简二次根式是（ ）
（A ）①② （B ）③④ （C ）①③ （D ）①④ 5．x
） （A ）x ＞1 （B ）x ≥1 （C ）x ＜0 （D ）x ≤0 6．计算8－（1－2）的结果是（ ）
（A ）32-1 （B ）32＋1 （C ）2-1 （D ）2＋1
7．已知实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，
是一个（ ） （A ）非负数 （B ）正数 （C ）负数 （D ）以上答案均不对 8．下列各式中，一定能成立的是（ ）
A ．3392-•+=-x x x
B ．22)(a a =
C ．1122-=+-x x x
D ．22)5.2()5.2(=-
9．如果数轴上表示a 、b 两个数的点都在原点的左侧，且a 在b 的左侧，则
的值为2)(b a b a ++-（ ） A ．b 2- B ．b 2 C ．a 2 D ．a
2-b
O
10.
是整数，则满足条件的最小正整数n 的值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题（每题3分，共24分）
11．① (2 3 )2＝ ； ②．①=-2)3.0( ；
12．比较大小：4 3 5 2 ；
14．若1＜x ＜2，则化简
= . 15．若20x y +-=，则_________x y -=．
16．若a ，小数部分是b ，计算的值为_________。
17.若m<0，则332||m m m ++= 。
18.已知： ,5
14513,413412,312311=+=+=+ 当1≥n 时，第n 个等式可表示为 。
三、解答题：(66分)
19．化简：（6分）
（1）500 （2）n m 218
20．计算（30分）
（1） (8＋23)× 6 （2） (80-
40)÷5
（3）（23+6）（23-6） （4）)323125.0()4881(----22
)1()2(x x ---
（5）28
4)23()21(01--+-⨯- （6） 20112010)23()23(+⋅-
23．（8分）已知2x =- 求代数式246x x --的值是多少
22．（10分）若x ，y 是实数，且314114+-+-=x x y ，求x
y 3的值。
24．（12分）阅读并完成下面问题：
① 12)12)(12()
12(1211
-=-+-⨯=+
② ;23)23)(23(232
31
-=-+-=+ ③
25)25)(25(25251
-=-+-=+ 试求：
（1）6
71
+= ；（2）17231+= ； （3）n n ++11= （n 为正整数），本题给出求解过程。
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