σ′= Mz·y/Iz =y Mcosφ/Iz σ″= My·z/Iy =z Msinφ/Iy
根据叠加原理，K
σ=σ′+σ″
= Mz·y/Iz + My·z/Iy =M(ycosφ/Iz +zsinφ/Iy) 式中Iz和Iy分别是横截面对形心主轴z和y的惯性 矩。正应力σ′和σ″的正负号，可通过平面弯曲的变形 情况直接判断，如图9.2(b)所示，拉应力取正号，压 应力取负号。
- P/A + Mz/Wz ≤0
- 150×103/200h + 10×106/ 200h2/6 ≤0 则 h≥400mm 取 h=400mm 当h=400mm
σymax=- P/A - Mz/Wz =(-1.875-1.875)MPa=-3.75MPa
对于工程中常见的另一类构件，除受轴向荷载外， 还有横向荷载的作用，构件产生弯曲与压缩的组合变形。
若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯曲的强 度条件为
σmax= Mzmax/Wz + Mymax/Wy ≤［σ］
图9.2
对于不同的截面形状， Wz/Wy 的比值可按下述
矩形截面： Wz/Wy = h/b=1.2～2 工字形截面：Wz/Wy =8～10； 槽形截面： Wz/Wy =6～8。
【例9.1】跨度l=4m的吊车梁，用32a号工字钢制成，材料 为A3钢，许用应力［σ］=160MPa。作用在梁上的集中力 P=30kN，其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角φ=15°， 如图9.3
Wy≥387×103mm3 由 Wy= hb2/6 = 1.5b3/6 ≥387×103 解得 b≥115.68mm 为便于施工，取截面尺寸b=120mm
h=1.5b=1.5×120mm=180mm 选用120mm×180mm
9.3 偏心拉-压
图示的柱子，荷载P的作用 线与柱的轴线不重合，称为偏心 力，其作用线与柱轴线间的距离 e称为偏心距。偏心力P通过截面 一根形心主轴时，称为单向偏心 受压。
(3) 中性轴与z轴的夹角α(图9.2(c))的正切为 tanα=｜y0/z0｜= Iz/Iytanφ
从上式可知，中性轴的位置与外力的数值有关， 只决定于荷载P与y轴的夹角φ及截面的形状和尺寸。
图9.2
9.2.4 强度条件
进行强度计算，首先要确定危险截面和危险点 的位置。危险点在危险截面上离中性轴最远的点处， 对于工程上常用具有棱角的截面，危险点一定在棱 角上。图9.2(a)所示的悬臂梁，固定端截面的弯矩值 最大，为危险截面，该截面上的B、C两点为危险点， B点产生最大拉应力，C点产生最大压应力。
(3) 从图 (a)中可知：最大压应力发生在截面与偏心
力P较近的边线n-n线上；最大拉应力发生在截面与偏 心力P较远的边线m-m
σmin=σymax=- P/A - Mz/Wz σmax=σlmax=- P/A + Mz/Wz 截面上各点均处于单向应力状态，所以单向偏
σmin=σymax=｜- P/A - Mz/Wz｜≤［σy］ σmax=σlmax=- P/A + Mz/Wz ≤［σl］
该截面上由Pz在xOz Mymax= Pzl/4 = 7.76×4/4 kN·m=7.76kN·m
(3) 强度校核 由型钢表查得32a号工字钢的抗弯截面系数Wy和Wz
Wy=70.8cm3=70.8×103mm3 Wz=692.2cm3=692.2×103mm3
图9.3
【例9.2】图9.4所示矩形截面木檩条，两端简支在屋架上， 跨度l=4m。承受由屋面传来的竖向均布荷载q=2kN/m。 屋面的倾角φ=20°，材料的许用应力［σ］=10MPa。试
Py=Pcosφ Pz=Psinφ 分力Py和Pz将分别使梁在xOy和xOz两个主平面
图9.2
9.2.2 内力和应力的计算
在距自由端为x的横截面上，两个分力Py和Pz所
Mz=Py·x=Pcosφ·x=Mcosφ My=Pz·x=Psinφ·x=Msinφ 该截面上任一点K(y，z)，由Mz和My所引起的正
【解】(1) 荷载q与y轴间的夹角φ=20°，将均布荷载q沿截面对
称轴y、z qy=qcosφ=2cos20°kN/m =1.88kN/m qz=qsinφ=2sin20kN/m° =0.68kN/m
(2) 檩条在qy和qz单独作用下，最大弯矩均发生在跨中截
Mzmax= qyl2/8 = 1.88×42/8kN·m=3.76kN·m Mymax= qzl2/8 = 0.68×42/8kN·m=1.36kN·m (3) 选择截面尺寸 根据式(12.4) Mzmax/Wz + Mymax/Wy ≤［σ］ 上式中包含有Wz和Wy两个未知数。现设 Wz/Wy = h/b=1.5 3.76×106/1.5Wy + 1.36×106/Wy ≤10
图9.1
9.1.2 组合变形的解题方法
解决组合变形强度问题，分析和计算的基本步骤： 首先将构件的组合变形分解为基本变形；然后计算构件 在每一种基本变形情况下的应力；最后将同一点的应力
试验证明，只要构件的变形很小，且材料服从虎克 定律，由上述方法计算的结果与实际情况基本上是符合
9.2 斜弯曲
对于横截面具有对称轴的梁，当横向力作用在梁的 纵向对称面内时，梁变形后的轴线仍位于外力所在的 平面内，这种变形称为平面弯曲。
图9.2
9.2.3 中性轴的位置
因为中性轴上各点的正应力都等于零，设在中 性轴上任一点处的坐标为y0和z0，将σ=0代入式(9.1)，
σ=M(y0cosφ/Iz +z0 sinφ/Iy)=0
y0 cosφ/Iz +z0sinφ/Iy =0 上式称为斜弯曲时中性轴方程式。
从中可得到中性轴有如下特点： (1) (2) 力P穿过一、三象限时，中性轴穿过二、四象
单元9 组合变形强度计算
9.1 组合变形的概念 9.2 斜弯曲 9.3 偏心压缩（拉伸）
9.1 组合变形的工程概念
9.1.1 组合变形的概念
在实际工程中，构件的受力情况是复杂的，构件受 力后的变形往往不仅是某一种单一的基本变形，而是 由两种或两种以上的基本变形组合而成的复杂变形， 称为组合变形。
例如，图12.1(a)所示的屋架檩条；图12.1(b)所示的 空心墩；图12.1(c)所示的厂房支柱，也将产生压缩与 弯曲的组合变形。
图12.5
(4)
下面来讨论当偏心受压柱是矩形截面时，截面 边缘线上的最大正应力和偏心距e之间的关系。
图12.6(a)所示的偏心受压柱，截面尺寸为b×h， A=bh，Wz= bh2/6 ，Mz=Pe
σmax=- P/bh +Pe/bh2/6 =- P/bh(1- 6e/h) 边缘m-m上的正应力σmax的正负号，由上式中(16e/h )的符号决定，可出现三种情况：
【解】(1) 荷载分解
将荷载P沿梁横截面的y、z
Py=Pcosφ=30cos15°kN=29kN Pz=Psinφ=30sin15°kN=7.76kN (2) 内力计算
吊车荷载P位于梁的跨中时，吊车梁处于最不利的受 力状态，跨中截面的弯矩值最大，为危险截面。
该截面上由Py在xOy Mzmax= Pyl/4 = 29×4/4kN·m=29kN·m
① 当 6e/h <1，即e< h/6 时，σmax为压应力。截 面全部受压，截面应力分布如图12.7(a)所示。
② 当 6e/h =1，即e= h/6 时，σmax为零。 截面全部受压，而边缘m-m上的正应力恰好为零， 截面应力分布如图12.7(b)所示
③ 当 6e/h >1，即e> h/6 时，σmax为拉应力。截 面部分受拉，部分受压，应力分布如图12.7(c)所示。
图12.7
【例9.3】图示矩形截面柱，屋架传来的压力P1=100kN， 吊车梁传来的压力P2=50kN，P2的偏心距e=0.2m。已知截 面宽b=200mm (1) 若h=300mm，则柱截面中的最大拉应力和最大压应力 各为多少? (2) 欲使柱截面不产生拉应力，截面高度h应为多少?在确 定的h尺寸下，柱截面中的最大压应力为多少? 【解】(1) 内力计算
图12.6
9.4 截面核心
9.4.1 截面核心的概念
在单向偏心压缩时曾得出结论，当压力P的偏心距 小于某一值时，横截面上的正应力全部为压应力，而 不出现拉应力。当偏心压力作用在截面形心周围的一 个区域内时，使整个横截面上只产生压应力，这个荷 载作用区域称为截面核心。
(1) 将偏心力P向截面形心平移，得到一个通过柱轴线的轴向压力
P和一个力偶矩m=Pe的力偶，如图所示。 横截面m-n上的内力为轴力N和弯矩Mz，其值为
N=P Mz=Pe
(2) 对于该横截面上任一点K，由轴力N所引起的正
σ′=- N/A 由弯矩Mz
σ″=- Mzy/Iz 根据叠加原理，K
σ=σ′+σ″=- N/A - Mzy/Iz
如果外力的作用平面虽然通过梁轴线，但是不与梁 的纵向对称面重合时，梁变形后的轴线就不再位于外 力所在的平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
P
cz
z
zPcc来自Pxy
x
y
9.2.1 外力的分解
如图9.2(a)所示的矩形截面悬臂梁，集中力P作用 在梁的自由端，其作用线通过截面形心，并与竖向 形心主轴y的夹角为φ
将力P沿截面两个形心主轴y、z方向分解为两个
N=P1+P2=(100+50)kN=150kN
Mz=P2e=50×0.2kN·m=10kN·m (2) 计算σlmax和σymax
由式(12.6)
σlmax=- P/A + Mz/Wz =(-2.5+3.33)MPa=0.83MPa σymax= -P/A - Mz/Wz =(-2.5-3.33)MPa=-5.83MPa (3) 确定h和计算σymax 欲使截面不产生拉应力，应满足σlmax≤0