导数和微分问题 1.为什么用导数能研究函数的性态？答：应用导数之所以研究函数的性态是因为函数 () f x在点 0 x 导数 00 0 0 0 0 ()() '()limlimx x x f x f x y f x x x x®® - D == D - 本身蕴含了函数 () f x 在点 0 x 最本质的属性.为了说明这个事实，我们首先从比数0 0 ()() f x f x y x x x- D =D - 说起，比数 yx D D对研究函数 () f x 在点 0 x 的性态有什么意义呢？ 我们知道，两个量a 与b 之比数 akb = （或a kb = ）是一个抽象的数，称为率。
在数学中有很多的率。
例如，圆周率，离心率，斜率，曲率等。
在社会科学中， “率”就更多了，例如，增长率，出生率，利率等。
率这个抽象的数k 给出了两 个量a 与b 之间的倍数关系，即a 与b 的k 倍，它能刻划事物内在的规律和属性。
例如，椭圆 2222 1 x y a b += 的离心率 22(01) a be e a - =£< 描绘了椭圆的扁圆的程度：e 愈大，椭圆愈扁;e 愈小，椭圆愈近似于圆。
由此可见， 椭圆的离心率e 对认识椭圆的几何性态是十分必要的。
这就是几何性质定量化，是“以数表性”的实例。
同样，导数这个“率”也能够 以数表性（函数的性态），而应用的范围更为广泛。
设函数 () y f x = 在点 0 x 可导，任取一点 x ，有自变量的改变量 0 , x x xD =- 相应函数 () y f x = 的改变量 0 ()(). y f x f x D =- 两者的比数为0 0()() '.f x f x y k x x x - D == D - 用分析的语言说， ' k 是函数 () y f x= 在 0 x 附近的平均变化率。
用几何的语言说， ' k 是曲线 () y f x = 过点 00 (,()) x f x 与 (,()) x f x 的割线斜率。
当 x 很靠近 0 x 时 （或 x D 很小时），平均变化率 ' k 能够近似地描绘函数 () y f x = 在点 0 x 附近的性态。
例如，当 '0y k x D => D 时，即 y D与 x D 同号，函数 () y f x = 在 0 x 严格增加，而数 ' yk x D =D 愈大，函数增加愈快。
当 '0yk x D =< D 时，即 y D与 x D 异号，函数 () y f x = 在点 0 x 严格减少，而数 |'||| yk x D = D 愈大，函数减少愈快。
由此可见，函数 () y f x= 在点 0 x 附近的性态与平均变化率 ' yk x D =D 有密切 联系。
因此，研究函数 () y f x = 在点 0 x 的性态，首先必须构造函数 () y f x = 在点 0 x 的平均变化率 ' yk x D =D 。
其次，研究函 () y f x= 在点 0 x 的性态，仅有平均变化率 ' yk x D =D 还不够， 甚至是很不够的。
因为当 x D是很小的非零常数时，变化率 ' yk x D =D 只能是近似地 描绘了究函 () y f x= 在点 0 x 的性态，它还不能真实精确地描绘究函 () y f x = 在点 0 x 的性态。
不难看到，当 x 愈接近于 0 x 的性态。
因此，只有当 x 无限趋近于0 x (0) x D ® ，平均变化率 ' y k x D =D 的极限，即导数0 0 0 0 0()() '()limlimx x x f x f x y f x x x x D ®® - D == D - 才能真实精确地描绘函数 () f x在 0 x 的性态。
由此可见，导数确能起到“以数表 性”的作用。
导数 0 '() f x也称为函数 () y f x = 在点 0 x 的变化率。
这就是导数的构造性定义为什么先作比数 yx D D ， 其次取极限 (0) x D ® 的道理。
有了导数就为研究函数的性态添加了新方法， 从而一辟了研究函数的新领域。
因此导数在数学分析中处于十分重要的地位。
问题 2.函数 () f x在连续点不可导有哪些类型？ 答： 极限0 0 0 0 ()() limlim x x x f x f x y x x x D ®® - D = D - 不存在有几种类型，函数 () f x在连续点 0 x 不可导也就有几种类型。
1）左、右导数存在，但不相等。
例如，函数 ()|| f x x =在点0左、右导数不存在，但不相等。
2）左、右导数至少有一个不存在。
例如，函数 ( ) 1 sin0, 00. x x f x xx ì> ï = í ï £ î 右导数 0 01'(0)lim lim sin x x y f x x ++ D ® D ® D == D D ，不存在。
左导数'(0)lim 0 x y f x -- D ® D == D ，存在。
3）左、右导数至少有一个是无限大。
例如，函数 3() f x x = 在点0。
右导数32 00 31 '(0)limlim . x x x f xx +++ D ®D ® D ===+¥ D D 左导数32 00 31 '(0)limlim . x x x f xx +++ D ®D ® D ===+¥ D D 注：函数 3() f x x = 在点0存在切线， 它的切线斜率是无穷大， 即切线是 y 轴 （一般情况是平行 y 轴）。
问题 3 若函数 ( ) f x 在点 0x 可导，试问 ( ) /0 f x 与 ( ) ( ) /0 f x 有何区别？ 答 ( ) / 0 f x 与 ( ) ( ) / 0 f x 的含义不同。
( ) / 0 f x 是函数 ( ) f x 在点 0 x 的导数， 而 ( )( ) /0 f x 是常数 ( ) 0 f x 的导数，即为零，例如对于 ( ) 2f x x = ，有( ) / 36 f = ， ( ) ( ) /30f = 问题 4 试问函数 ( ) f x 在 0x 处不通常通有几种情形？ 答（1）函数在这点不连续（例如在问题2中的例子）（2）函数在这点的左、右导数中至少有一个不存在，例如：( ) 1 sin 0, 00. x x f x xx ì > ï= í ï £ î (0)0,(0)f f ¢¢ -=+ 不存在 （3）左、右导数都在但不相等，例如：f（x）=∣x∣,f′+(0)=1,f′-(0)=-1问题 5. 函数 () f x 在点 0 x 可导，是否函数函数 () f x 在点 0 x 的某个邻域内每 一点可导？答：不一定。
函数 () f x在点 0 x 可导是个局部概念，在点 0 x 的领域内不一定 可导。
例如，函数( ) 2x x f x x ì = íî 当 是有理数 当 是无理数在点0可导（当然在点0连续） ，事实上0 ()(0)()'(0)limlim 0 x x f x f f x f x x®® - == - 20 0 lim 0 0 lim 0 x x x x x x x® ® ì = ï ï = íï = ï î 当 是 有理 数 当 是 无理 数 显然，函数 () f x在任意 0 x ¹ 都不连续，即除点0外，函数 () f x 在任意点都不可 导。
由此可见，一个函数可能仅仅在一点可导。
问题 6.符号 0 '() f x+ 与 0 '(0) f x + 是否有区别？ 答：有区别。
符号 0 '() f x+ 表示函数 () f x 在点 0 x 的右导数，即极限 00 0 ()()'()limx x f x f x f x x x + ® - = - 符号 0'(0) f x + 表示导（函数） '() f x 在点 0 x 的右极限，即极限 0'(0)lim '()x x f x f x ® += 由此可知， 0'(0) f x + 还表明函数 () f x 在区间 00 (,) x x d + 内每一点都可导。
这是两个不同的概念。
一般来说， 0 '() f x+ 与 0 '(0) f x + 其中一个存在，另一个可能不存在。
例如，函数( ) 1 arctan 0 x f x xx ì¹ ï= í ï î当 0 当 =0当 0 x ¹ 时， 2 1 '() 1 f x x - = + ， 2 00 1'(00)lim '()lim 1, 1 x x f f x x ++®® - +===- + 但是，0 11'(0)lim x f arctg x x + + ® ==+¥再例如，函数( ) 2 1sin0, 00. x x g x xx ì ¹ ï = í ï = î 2 00 1sin1 '(0)limlim sin 0. x x x x g x x x+ ®® === 但是，当 0 x ¹ 时，11 '()2sin cos .g x x x x =- 011 '(00)lim '()lim (2sincos ). x x g g x x x x ++ ®® +==- 不存在。
在什么条件下，在 0 '() f x+ = 0 '(0) f x + 呢？若函数 () f x 在 00 [,] x x d + 上连续， 在 00 (,) x x d + 可导 ， 且 0lim '() x x f x l +® = ， 则函数 () f x 在点 0 x 右可导 ， 且00 '()lim '()'(0).x x f x f x l f x ++ ® ===+ 问题 7 记号f′（g（x））与（f（g（x）））′有何区别？ 答 函数f（g（x））是由函数y=f（u）用g（x）代入后所得的结果，即 f′（g（x））=f′（u）︱u=g(x)而（f（g（x）））′是函数f（g（x））=f′（g（x）） ·g′（x）， 因而不能混淆。