第三章 有界线性算子
一 有界线性算子与有界线性泛函 1 定义与例
设1,X X 是赋范空间，T 是X 中线性子空间)(T D 上到1X 中的映射 ，满足条件：对于任意)(,T D y x ∈，K ∈α
,)(Ty Tx Y x T +=+Tx x T αα=)(
称T 是X 中到1X 中的线性算子。

称)(T D 是T 的定义域。

特别地，称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。

如果一个线性泛函
f 是有界的，即
)( |||||)(|M x x M x f ∈≤
称为
f 有界线性泛函。

此外取算子范数作为空间中的范数。

定理1.1 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，如果T 在某一点X x ∈0
连续，则T 是连续的。

定理1.2 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 是连续的，当且仅当，T 是有界的。

2 有界线性算子空间
设1,X X 是赋范空间，用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。

在),(1X X β中可以自然地定义线性运算，即对
于任意∈B A ,),(1X X β及K ∈α
，定义
Bx Ax x B A +=+))((
Ax x A αα=))((
不难到，两个有界线性算子相加及数乘一个有界线性算子仍有界线性算子。

此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数，具体见
)(77P 。

由此可知，),(1X X β是一个赋范线性空间，如果1X X =，
把),(1X X β简记为)(X β。

在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。

事实上，设∈n
A A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及
}1||:||{=∈=X X x S 。

如果)(∞→→n A A n ，则对任意
0>ε，存在N ，当N n >时，对于每一个S x ∈
≤-||||Ax x A n
1
||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n
-ε<。

即}{n A 在S 上一致收敛于A 。

反之，如果}{n A 在S 上一致收敛于A ，则对任意0>ε
，存在
N ，当N n >时，对于每一个S x ∈：
||||Ax x A n -ε<
于是：||||
A A n -=1
||||sup =x ||||Ax x A n -ε≤。

即}{n A 在上一致收敛于A 。

定理1.3 设X 是赋范空间，1X 是anach B 空间，则),(1X X β是anach B 空间。

在空间
)
,(1
X X β中还有另一种收敛方式。

设
∈n T T ,),(1X X β,...)2,1(=n ，如果对于每一X x ∈
Tx X T n → )(∞→n
称}{n T 逐点收敛于T 或}{n T 强收敛于T 。

二 Steinhaus Banach -定理及其某些应用
定理 2.1(
Steinhaus Banach -) 设}{αT (I ∈α)是
Banach 空间X 上到赋范空间1X 中的有界线性算子族，如果对于
每一X x ∈
，||||sup x T I
αα∈<∞，则||}{||x T α)(I ∈α是有界集。

定理2.2 设}{n T 是赋范空间X 上到Banach 空间1X 中的有界线性算子列。

如果
1) ||}{||n
T 有界；
2) 对于一个稠密子集G 中的元x ，}{x T n 收敛，则}{n T 强收敛于一个有界线性算子T ，并且
||||lim ||||_
n n T T ∞
→≤。

定理 2.3 设
1,X X 是Banach 空间，则有界线性算子空间
),(1
X X β在强收敛意义下完备。

例子就见第82页例1、例2。

三 开映射定理与闭图像定理 1 逆算子
设21,,X X X 是赋范空间，∈1T ),(1X X β，∈2T ),(21X X β。

这时可以定义算子的乘法12T T T
=，
)(12x T T Tx = )(X x ∈
由于
))(()(12y x T T y x T +=+=)(112y T x T T +=)()(1212y T T x T T +=
Ty Tx +=
类似地
Tx x T αα=)(
及
≤=||)(||||||12x T T Tx ≤||||||||12X T T )( ||||||||||||12X x x T T ∈
所以T 是有界线性算子，∈T
),(2X X β并且
≤=||||||||12T T T ||||||||12T T 。

(1)
不难证明，算子乘法满足结合律和分配律，但是注意算子乘法不满足交换律。

设T 是从线性空间X 上映到线性空间1X 中的恒等算子。

如果存在一个1X 上到X 中的线性算子1T ，使得
X I T T =1，1
1X I TT = (2)
则称算子T 有逆算子。

X I ，1
X I 分别为空间X 及1X 中的恒等算子。

算子1T 称为T 的逆算子，并记为11
-=T T 。

定理 3.1 设T 是赋范空间X 上到赋范空间1X 上的线性算子且存在常数0>m
，使得
||||||||x m Tx > )(X x ∈ (4)
则T 有有界逆算子1
-T
定理 3.2 设X 是Banach 空间中，如果)(X T β∈，如果
1||||<T ，则算子T I -有有界逆算子，并且
||)(||1
--T I ||
||11
T -≤。

2 线性算子的谱
定义 设T 是Banach 空间X 上的有界线性算子，如果算子
1)(--I T λ存在且定义在全空间X 上，则称数λ为算子的正则值，
此时称1)(--=I T R λλ
为算子T 的预解式。

称所有其他的λ值为算
子T 的谱点，算子T 的谱点全体算子的谱，记为)(T δ。

定理 3.3 设X 是Banach 空间，)(X T β∈。

则)(T δ是有界闭集。

3 开映射定理
定理 3.4(开映射定理) 设T 是Banach 空间X 上到Banach 空间1X 上的有界线性算子，则T 是一个开映射。

定理 3.5 (Banach 逆算子定理) 设T 是Banach 空间X 上到
Banach 空间1X 上的一对一的有界线性算子，则T 的逆算子1-T 是
有界算子。

4 闭图像定理
设1,X X 是赋范空间，T 是X 中到1X 中的线性算子，乘积赋范空间1X X ⨯，记
)}(:),{()(1T D x X X Tx x T G ∈⨯∈=
称)(T G 为算子T 的图像。

如果)(T G 是乘积赋范空间1X X ⨯中的闭集，则称T 是闭算子。

定理 3.6 设1,X X 是赋范空间，T 是X 中到1X 中的线性算子，则T 是闭算子，当且仅当，对任意)(}{T D x n ⊂
，x x n →及
y Tx n →(∞→n )，这里X x ∈，1X y ∈。

此时必有)
(T D x ∈并且y Tx
=。

定理3.7(闭图像定理) 设T 是Banach 空间X 上到Banach 空间1X 中的闭线性算子，则T 是有界线性算子。