(3)
利用弧長表示式，可表示如下，其中 為半徑，ds為弧長
d ds
(4)
其中
1
ds
(dx)2
(dy)2

1

(
dy dx
)2

2
dx
(5)
根據(4)式得到
ds d
(6)
將(3)式及(5)式代入(6)式得




1


1
(
dy dx
)
2

2

•探討彼此間的關係，並整理出平面曲線曲率的各種 計算公式。 •透過Mathematica軟體建構軌跡動畫。
一、研究方法與數學推導：曲率與曲率半徑
• 平面座標系的微積分推導
給一平面曲線y(x)，如圖(一)所示：
y(x)在(x , y(x))處的切線斜率可表示為：
y ' dy tan
eJt eit 0 1
t
t2 2!
(29)
0 0 1 t
0 0 0 1
3.矩陣餘式定理應用
有一矩陣Ａ，特徵方程式為 f () 0，特徵值為 1 n。由Cayley-Hamilton theorem知 f ( A) 0。透過餘式定理可知
et f ()q() an-1 (t) n-1 an-2 (t) n-2 a1 (t)1 a0 (t)
dx



1
3
(
dy dx
)2

2
(7)
d2y

d2y

dx2
dx

dx2


1

(
dy dx
)2


所以可得曲率κ如下：
d2y
1
dx 2

3
1+(
dy dx
)2

2
(8)
• 平面座標系的弧長表示法
(25)
所以
eAt VeDtV 1
(26)
2.重根問題-Jordan Canonical Form
令有一 n n 矩陣A，其特徵值為重根。利用Jordan Canonical Form
解決重根問題。矩陣特徵值有二重根時Jordan Form表示為
1 0 0 0 0

0
2
0
0
1.無重根問題-傳統方法 假設有一矩陣A，其特徵向量組成的矩陣為V。vn為矩陣V之列向量
V v1vn
(22)
Av j jv j ， j 1,, n N
(23)
且
AV VD ， D diag(1,n )
(24)
則
eDt diag(e1t ,, ent )
= 1
(19)

則其長度為
(s) = 1
(20)

所以曲率半徑可藉由弧長參數表示法，變成
x2 + y2
=
(21)
x y x
二、研究方法與結果
• eAt矩陣函數運算：
運算矩陣特徵值時，若為相異根，則以傳統相似轉換法，即可求得。 若出現重根，則相似矩陣法無法解出 eAt 真正的解。故需使用Jordan Canonical Form解決重根問題。
圖(二) 位移向量 r(s)
定義單位切向量 為
dr
(15)
ds
則
s= r(s) =( x(s) , y(s) )
(16)
r(s) x(s)2+y(s)2 x(s)2+y(s)2
因為 為單位切向量，其長度為1，亦即
=1
(17)
取微分得
= 0
(18)
所以 與單位法向量 平行，因此我們可定義
(30)
將1 n 分別代入(32)式，可求得 an1 a0，再由實數和矩陣可互換性質，
實數 換為矩陣Ａ可得
eAt f ( A)Q( A) an-1 (t) An-1 an-2 (t) An-2 a1 (t) A a0 (t)I
(31)
代入矩陣Ａ解得 eAt
(x)3
• Frenet Formula
給一平面曲線，其時間參數表示式為( x(t), y(t)) ，藉由弧長關係式
(ds)2 (dx)2 (dy)2
(13)
可將時間參數表示法轉成至空間弧長參數表示如下:
r (x(t), y(t)) (x(s), y(s))
(14)
其中， r 為位置向量，ds為微小段路徑長，如下圖(二)所示。
0

A V 0 0 0 0 V 1

0
0
0 i
1

0 0 0 0 i
(27)
若特徵值為四重根，則Jordan矩陣可表示如下
i 1 0 0
J


0
i
1
0

(28)
0

0
0 0
i 0
1
i

1
t
t2 2!
t3 3!
前言
•在土木工程領域的範疇中，工程上的數學應用與計 算，一直扮演著極為重要的角色。
•土木工程應用上， e A 與 eAt 矩陣的計算在力學方面應用 相當廣泛。
• eAt 的幾何與力學意義就是本研究想要了解的重點。
研究議題
•以向量微積分觀點，探討平面曲線。
•利用曲線弧長參數表示法作為切入點。以不同的參 數表示式求得曲率半徑。 •矩陣函數 eAt 的求解技巧與應用。
d( )
y" = x(s) 1 = y x y x 1 = y x y x
(11)
ds x(s)
(x)2 x
(x)3
將(9)式和(11)式代入(7)式，曲率半徑可轉成如下表示式
=
1+(
y x
)2

3
(x2 +y2 ) 2 =
(12)
(y x y x) y x y x
給一平面曲線，其弧長參數表示式為(x(s),y(s))，則
y = dy = dy ds = y(s)
(9)
dx ds dx x(s)
y'' = d ( y') = d ds ( y')= d ( y') 1
(10)
dx
ds dx
ds x(s)
將(9)式代入(10)式，可得
y(s)
4.算例
例題1：已知矩陣
A

1 0
2 2
，求
(1)
dx
再對x做一次微分，可得
圖(一) 曲線y(x)的微小路徑變化
d 2 y d tan sec2 d (1 tan2 )d
dx2 dx
dx
dx
(2)
移項整理可得
d2y
d2y
d

dx2 (1 tan2 )
dx

dx2
1

(
dy dx
)
2

dx