题型(二) 定 值 问 题
主要以直线与圆锥曲线的位置关系为背景， 考查转化与 化归思想和对定值问题的处理能力，常涉及式子、面积的 定值问题.
[典例感悟] [典例 2] 已知抛物线 C：y2＝2px(p>1)上的点 A 到其焦点的
3 5 2 距离为 ，且点 A 在曲线 x＋y － ＝0 上． 2 2 (1)求抛物线 C 的方程；
x2 y2 代入 ＋ ＝1，消去 x，并整理得 25y2＋20my＋8(m2－25)＝0. 25 16 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 8m2－25 4 则 y1＋y2＝－ m，y1y2＝ ， 5 25 又易得|PA| ＝(x1－m)
2 2 2 2
41 2 41 2 2 2 ＋y1＝ y1，同理可得|PB| ＝ y2. 16 16
第
四
讲
大题考法——
圆锥曲线中的定点、 定值、存在性问题
题型(一) 定点问题
主要考查直线、曲线过定点或两条直线的交点在定 曲线上.
[典例感悟] [典例 1] (2018· 宁波“十校”高三 5 月联考) x2 y2 3 已知椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率 e＝ ， a b 2 2 且点 P 2， 为椭圆 E 上一点． 点 A，B 为椭 2 圆 E 的上下顶点，动点 M 在第一象限内且坐标为(m,2)，过 M 作 直线 MA，MB 分别交椭圆 E 于 C，D 两点． (1)求椭圆 E 的标准方程； c 3 [解] 由 e＝a＝ ，a2＝b2＋c2，得 a＝2b. ① 2 1 2 2 2 把 2， 代入椭圆方程，得 2＋ 2＝1. ② a b 2 联立①②，解得 a＝2，b＝1， x2 2 ∴椭圆 E 的标准方程为 ＋y ＝1. 4
y2 1 y－y1＝kx－ ， 4 联立方程得 消去 x，整理得 2 y ＝4x
ky2－4y＋4y1－ky2 1＝0， ∵M 是切点，∴Δ＝16－4k(4y1－ky2 1)＝0， 2 2 2 即 4－4ky1＋k y1＝0，解得 k＝ ， y1
y2 2 2 y1 1 ∴直线 PM 的方程为 y－y1＝ x－ 4 ，即 y＝ x＋ ， y1 y1 2 2 y2 同理得直线 PN 的方程为 y＝ x＋ ， y2 2 y1 y2 2 y1 x＝ 4 ， y＝y1x＋ 2 ， y y 1 2 y1 ＋ y2 联立方程得 解得 ∴P ， ， 4 2 y ＋ y y＝ 2 x＋y2， y＝ 1 2， 2 y2 2 y1 ＋ y2 ∵Q 是线段 MN 的中点，∴y0＝ ， 2 2 x1＋x2 y2 1 ＋ y2 ∴PQ ∥x 轴，且 x0＝ ＝ ， 2 8 1 1y1y2 ∴△PMN 的面积 S＝ |PQ |· |y1－y2|＝ 4 －x0· |y1－y2|＝ 2 2 2 2 y ＋ y 1 1 y y 1 2 1 2 3 · | y － y | ＝ | y － y | － 2 1 2 ＝32，即△PMN 的面积为定值． 1 2 16 4 8
c 3 e＝a＝5， 2 解：由2b 32 a ＝5， 2 2 2 a ＝ b ＋ c ， a＝5， 可得b＝4， c＝3，
x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1. 25 16
4 (2)点 P(m,0)为椭圆 C 的长轴上的一个动点， 过点 P 且斜率为 的 5 直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，证明：|PA|2＋|PB|2 为定值． 5 解：证明：设直线 l 的方程为 x＝ y＋m， 4
解：不存在满足条件的直线，证明如下： 设直线的方程为 y＝2x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)， P
[解 ] 存在，理由如下：
设直线 AB 的方程为 x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的 中点为 M.
x＝my＋1， 联立 2 2 x ＋2y ＝2
消去 x，整理，得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
－2m －1 4 则 y1＋y2＝ 2 ，y y ＝ ，x1＋x2＝ 2 ， m ＋ 2 1 2 m 2＋ 2 m ＋2 故
主要以直线与圆锥曲线的位置关系为背景， 考查学生分 析问题和解决问题的能力.
[典例 3]
[典例感悟] (2019 届高三· 浙江七校联考)已知中心在原点，焦
2 点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ，直线 l 过椭圆右焦点 F，且交 2 π 椭圆于 A，B 两点，当直线 l 的倾斜角为 时，|AB|＝ 2. 2 (1)求椭圆的标准方程；
2
∴抛物线 C 的方程为 y2＝4x.
(2)M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线 C 上异于原点的两点，Q (x0， y0)是线段 MN 的中点，点 P 是抛物线 C 在点 M，N 处切线的交 点，若|y1－y2|＝4p，证明△PMN 的面积为定值． 2 y2 y 1 2 [解] 证明：由(1)知 M 4 ，y1，N 4 ，y2，|y1－y2|＝8，设 抛物线 C 在点 M 处的切线的斜率为 k(k≠0)，则该切线的方程为 2 y1 y－y1＝kx－ 4 ，
[方法技巧]
求解定值问题的两大途径 (1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明 定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关． (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其 满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母 约分得定值．
[演练冲关]
x2 y2 2． (2019 届高三· 湖南五市十校联考)已知椭圆 C：2＋ 2＝1(a>b>0) a b 3 32 的离心率为 ，过左焦点 F 且垂直于长轴的弦长为 . 5 5 (1)求椭圆 C 的标准方程；
[演练冲关]
1.如图，过顶点在原点、对称轴为 y 轴的抛物线 E 上的点 A(2,1)作斜率分别为 k1，k2 的直线，分别 交抛物线 E 于 B，C 两点． (1)求抛物线 E 的标准方程和准线方程；
解：设抛物线 E 的标准方程为 x2＝ay，a>0， 将 A(2,1)代入得，a＝4. 所以抛物线 E 的标准方程为 x2＝4y，准线方程为 y＝－1.
A 1，
2 在椭圆 C 上， 2
所以 2a＝|AF1|＋|AF2|＝2 2， 因此 a＝ 2，b2＝a2－c2＝1， x2 2 故椭圆 C 的方程为 ＋y ＝1. 2
(2)是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点 5 M，N 时，能在直线 y＝ 上找到一点 P，在椭圆 C 上找到一点 Q ，满 3 ―→ ―→ 足 PM ＝ NQ ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
[方法技巧]
动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线 l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为 y ＝kx＋t，由题设条件将 t 用 k 表示为 t＝mk，得 y＝k(x＋m)，故 动直线过定点(－m,0)． (2)动曲线 C 过定点问题， 解法： 引入参变量建立曲线 C 的方 程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
2 －m ， 2 M 2 ，|AB|＝ m ＋ 2 m ＋ 2
2 2 2 m ＋1 2 1＋m · |y1－y2|＝ . m2＋ 2
假设存在点 D(2，t)使得△DAB 为正三角形， |mt－1| 则 D 到直线 AB 的距离 d＝ 2， 1＋m kDM＝－m， 由于△DAB 为正三角形，则有 3 d＝ |AB|， 2 m2＋2t＝－2m3－3m， m2＋ 1 3 即 |mt－1| 1＋m2＝ 2 ×2 2×m2＋2， ∴存在点
(2)若 k1＋k2＝k1k2，证明：直线 BC 恒过定点．
解：证明：由题意得，直线 AB 的方程为 y＝k1x＋1－2k1，直 线 AC 的方程为
2 x ＝4y， y＝k2x＋1－2k2，联立 y＝k1x＋1－2k1，
消去 y 得 x2－4k1x－4(1－2k1)＝0，解得 x＝2 或 x＝4k1－2， 因此点 B(4k1－2，(2k1－1)2)，同理可得 C(4k2－2，(2k2－1)2)． 2k1－12－2k2－12 于是直线 BC 的斜率 k＝ 4k1－2－4k2－2 4k1－k2k1＋k2－1 ＝ ＝k1＋k2－1，又 k1＋k2＝k1k2， 4k1－k2 所以直线 BC 的方程为 y－(2k2－1)2＝(k1k2－1)· [x－(4k2－2)]， 即 y＝(k1k2－1)x－2k1k2－1＝(k1k2－1)(x－2)－3. 故直线 BC 恒过定点(2，－3)． Nhomakorabea[解 ]
设点 A(xA，yA)，
3 ∵点 A 到抛物线焦点的距离为 ， 2
3 p 3 p 2 ∴xA＝ － ，yA＝2pxA＝2p2－2， 2 2 3 p 5 5 3 p 又点 A 在曲线 x＋y － ＝0 上，∴ － ＋2p2－2－ ＝0， 2 2 2 2
2
5 1 即 p － p＋1＝0，解得 p＝2 或 p＝ (舍去)， 2 2
(2)问直线 CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定 点，请说明理由． x [解] 由题意知，A(0,1)，B(0，－1)，则直线 MA 的方程为 y＝m＋ 3x 1，直线 MB 的方程为 y＝ m －1， y＝ x ＋1， y＝3x－1， m m － 8m 24m 2 联立 2 得 xC＝ 2 ，xD＝ 2 ， m ＋ 4 m ＋ 36 x ＋y2＝1， x ＋y2＝1， 4 4 2 －8m m2－4 24m － m ＋36 ， 2 ， ∴C 2 ， D 2 2 m ＋36 ， m ＋ 4 m ＋ 4 m ＋ 36 yD－yC m2－12 m2－4 12－m2 ∴kCD＝ ＝ ， 则直线 CD 的方程为 y－ 2 ＝ 16m xD－xC －16m m ＋4 － 8m x － 2 ， m ＋ 4 12－m2 1 1 即 y＝ x＋ ，∴直线 CD 过定点0，2. 16m 2