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二项式展开式专题

二项式展开式专题一、基础知识:1、二项式()()na b n N *+∈展开式()011222nn n n r n r rn nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++,从恒等式中我们可以发现这样几个特点(1)()na b +完全展开后的项数为()1n +(2)展开式按照a 的指数进行降幂排列,对于展开式中的每一项,,a b 的指数呈此消彼长的特点。

指数和为n(3)在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列,所以规定“+”左边的项视为a ,右边的项为b ,比如:()1n x +与()1nx +虽然恒等,但是展开式却不同,前者按x 的指数降幂排列,后者按1的指数降幂排列。

如果是()n a b -,则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开(4)二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= (注意是第1r +项)2、二项式系数:项前面的01,,,nn n n C C C 称为二项式系数,二项式系数的和为2n二项式系数的来源:多项式乘法的理论基础是乘法的运算律(分配律,交换律,结合律),所以在展开时有这样一个特征:每个因式都必须出项,并且只能出一项,将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。

对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘,对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中,有()n r -个式子出a ,剩下r 个式子出b ,那么这种出法一共有r n C 种。

所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。

而二项式系数便是这个组合问题的结果。

3、系数:是指该项经过化简后项前面的数字因数注:(1)在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。

二项式系数是展开式通项公式中的r n C ,对于确定的一个二项式,二项式系数只由r 决定。

而系数是指展开并化简后最后项前面的因数,其构成一方面是二项式系数,同时还有项本身的系数。

例如:()521x +展开式中第三项为()3223521T C x =⋅⋅,其中25C 为该项的二项式系数,而()3223352180T C x x =⋅⋅= 化简后的结果80为该项的系数(2)二项式系数与系数的概念不同,但在某些情况下可以相等:当二项式中每项的系数均为1时(排除项本身系数的干扰),则展开后二项式系数与系数相同。

例如()51x + 展开式的第三项为 ()322351T C x =⋅⋅,可以计算出二项式系数与系数均为103、有理项:系数为有理数,次数为整数的项,比如212,5x x就是有理项,就不是有理项。

4、()na b +与()na b -的联系:首先观察他们的通项公式:()n a b +:1r n r r r n T C a b -+= ()n a b -:()()'11r rr n r r n r r r n n T C a b C a b --+=-=-两者对应项的构成是相同的,对应项的系数相等或互为相反数。

其绝对值相等。

所以在考虑()na b -系数的绝对值问题时,可将其转化为求()na b +系数的问题5、二项式系数的最大值:在01,,,n n n n C C C 中,数值最大的位于这列数的中间位置。

若n 为奇数(共有偶数项),则最大值为中间两个,例如5n =时,最大项为2355C C =,若n 为偶数(共有奇数数项),则最大值为中间项,例如6n =时,最大项为36C证明:在01,,,n n n n C C C 中的最大项首先要比相邻的两项大,所以不妨设最大项为rn C ,则有()()()()()()11!!11!!1!1!1!!11!!11!1!r r n n r r n n n n r n r r n r C C r n r n n C C r n r n r r r n r -+⎧⎧≥≥⎪----⎡⎤⎪⎧≥⎪⎪⎣⎦⎪+-⇒⇒⎨⎨⎨≥⎪⎩⎪⎪≥≥⎪⎪--+⎩+-+⎡⎤⎣⎦⎩ 所以解得:1212n r n r +⎧≤⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩即1122n n r -+≤≤ 所以当n 为奇数时(21n k =-),不等式变为1k r k -≤≤,即1r k =-或r k =为中间项当n 为偶数时(2n k =),不等式变为11+22k r k -≤≤,即r k =为中间项 6、系数的最大值:由于系数受二项式系数与项自身系数影响,所以没有固定的结论,需要计算所得,大致分为两种情况:()__n+型:不妨设项1r T +的系数为1r P + ,则理念与二项式系数最值类似,最大值首先要比相邻项大,所以有112r rr r P P P P +++≥⎧⎨≥⎩,再根据通项公式代入解不等式即可()__n-型:其展开式的特点为项的符号有正有负,所以在解决此类问题时有两种方法:一种是只选取其中的正项进行比较,但序数相隔。

即1113r r r r P P P P +-++≥⎧⎨≥⎩,在运算上较为复杂;一种是先考虑系数绝对值的最大值,从而把问题转化为()__n+的最大值问题,然后在考虑符号确定系数最大值。

例1:二项式82x ⎛- ⎝展开式中的常数项是_________方法一:思路:考虑先求出此二项式展开式的通项公式,令x 的指数为0,求出r 的值再代入计算即可解:()88118331881122rrrr rr rrr x T C x C xx-----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭依题意可得:18063r r r --=⇒=∴ 常数项为()266781172T C ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭方法二:思路:对82x ⎛- ⎝中的8个2x ⎛ ⎝因式所出的项进行分配,若最后结果为常数项,则需要两个式子出2x,六个式子出-所以常数项为:622872x C ⎛⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝答案:7小炼有话说:通过本题说明求二项式展开式中某项的两种主流方法:一是通过通项公式,先化简通项公式,再利用题目中所求项的特征求出r 的值,进而求解;二是分析展开式中每一项构成的本质,即每一个因式仅出一项,然后相乘得到,从而将寻找所求项需要的出项方案,将其作为一个组合问题求解。

例2:在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,3x 的系数是____________ 思路一:考虑二项展开的通项公式:()()()626211231666rrr r r r r r r T C x x C x C x -----+===由所求可得:12333r r -=⇒= 3334620T C x x ∴==思路二:可将其视为6个因式出项的问题,若要凑成3x ,需要3个2x ,3个1x所以该项为:()333236120C x x x ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭答案:20小炼有话说:利用二项式定理求某项,通常两种思路:一种是利用二项式展开的通项公式,结合条件求出r 的值再求出该项;另一种是将问题转化为因式如何安排出项的问题。

例3:若二项式71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第四项等于7,则x 的值是____________思路:条件中涉及到项的序数,那么只能考虑利用通项公式:7171r rrr T C xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,第四项中3r =,3344717T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,解得:15x =- 答案:15x =-例4:已知91x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为212-,则实数a 的值为__________思路:先利用通项公式求出3x 的项,在利用系数的条件求出a 的值即可 解:99219911r rr rr rr T C xC x ax a --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9233r r ∴-=⇒= 3333493184T C x x a a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭3842122a a ∴=-⇒=- 答案:2a =-例5:已知二项式2()n x x+的展开式中各项二项式系数和是16,则展开式中的常数项是____思路:要想求得展开式的某项,首先要先确定n 的取值,先利用二项式系数和求出n :216n =即4n =,再求42()x x+展开式的常数项为2224224C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭答案:24例6:()()5211x x x ++-的展开式中,4x 项的系数为___________思路:已知表达式展开式中的每一项由两部分相乘而成,要想凑得4x ,不妨从其中一个式子切入进行分类讨论(以()21x x ++为例) 1:()21x x ++出1,则()51x -出4x ,该项为:()4445115C x x ⋅⋅⋅-=2:()21x x ++出x ,则()51x -出3x ,该项为:()33245110x C x x ⋅⋅⋅-=-3:()21x x ++出2x ,则()51x -出2x ,该项为:()222345110x C x x ⋅⋅⋅-=综上所述:合并后的4x 项的系数为5例7:()1021x x -+ 展开式中3x 项的系数为( )A. 210-B. 210C. 30D. 30-思路:本题不利于直接展开所有项,所以考虑将其转化为10个因式如何分配所出项的问题:若要凑成3x 有以下几种可能:(1):1个2x ,1个()x -,8个1,所得项为:()1218831098190C x C x C x ⋅-⋅=- (2):3个()x -,7个1,所得项为:()337731071120C x C x -⋅=-所以3x 项的系数为210- 答案:A例8:二项式24展开式中,有理项的项数共有( )项A. 3B. 4C. 5D. 7思路:有理项是指变量的指数是整数,所以考虑从通项公式入手:242411364242424rrr r r C x x C x---⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,其中0,1,2,,24r =,r 的取值只需要让364r Z -∈,则0,4,8,12,16,20,24r =,所以共有7个有理项 小炼有话说:在整理通项公式时可将x 的根式(或倒数)转化为分数指数幂,方便进行化简。

例9:二项式()821x +展开式中系数最大的项为___________思路:考虑()821x +展开式的通项公式为88182r r r r T C x --+=,其系数设为1r P +,即818=2rrr P C -+,若要1r P +最大,则首先要大于相邻项,即112r rr r P P P P +++≥⎧⎨≥⎩ ,代入解得r 的范围即可确定出r 的值,从而求出该项 解:()888188212rr r r r r r T C x C x ---+=⋅= 设1r T +项的系数为818=2r r r P C -+若1r P +最大,则()()81818818+18+112882222r r rr r r r r r r r r C C P P P P C C ----+--++⎧≥≥⎧⎪⇒⎨⎨≥≥⎩⎪⎩ ()()()()()()89878!8!1222!8!1!9!98!8!2122!8!1!7!81r r r r r r r r r rr r r r r r ----⎧⎧≥≥⎪⎪---⎪⎪-∴⇒⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪-+--+⎩⎩解得:23r ≤≤ 2r ∴=或3r =∴经检验:系数最大的项为5341792T T x ==。

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