的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
M rdmg g rred dr
ge
2
d
R r 2dr
0
0
2 g e R3
3
因m=eR2，代入得
M
2 mgR
3
根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即
获得负的角加速度.
2 mgR J 1 mR2 d
物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
T1
T2
T1
T2
a m1
a
a
m2
m1
G1
m2
G2
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺 时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程
T1 G1 m1a G2 T2 m2a
T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
例题5-4 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗
糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令 圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋
转，问它经过多少时间才停止转动？
d r R
dr
e
解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元
l 2 x2 m dx 1 ml 2
l 2 l
12
x o x dx
(2)建立坐标系，分割质量元
J x2dm
l x2 m dx 1 ml2
0l
3
x o x dx
（3）建立坐标系，分割质量元
h
J x2dm
l 2h x2 m dx l l 2h
1 ml2 mh2 12
o
x
x
dx
J 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关
大学物理例题讲解
南昌大学 陈国云 2014年4月5日
第五章 刚体力学基础
例题5-1 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量：
（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点
并和棒垂直。
解:(1)建立坐标系，分割质量元
J x2dm
求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明
棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。
解：这个问题可分为三个阶段
进行分析。第一阶段是棒自由
O
摆落的过程。这时除重力外，
其余内力与外力都不作功，所
C
以机械能守恒。我们把棒在竖
直位置时质心所在处取为势能
零点，用表示棒这时的角速度,则
mg
l 2
1 2
J
2＝1 2
边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
a r
从以上各式即可解得
a
m2 m1g
m2 m1
Mr J
r2
/
r
m2
m2
m1 g M
m1
1 2
m
/
r
而
T1
m1g
a
m1
2m2
1 2
m
g
M
m2
m1
1 2
m
/
r
T2
m1g－a
m2
2m1
1 2
m

g＋M
m2
m1
1 2
m
/
r
a m2 m1g M / r
端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图所
示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩 为m。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和 绳的张力。
解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 的作用，两边的张力不再 相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ，
3
2
dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
2 g
t
1
dt R
0
d
3
0
2 0
由此求得
t
3 4
R
g
0
例题5-5 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过 其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位 置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物 体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系
数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。
’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右
摆。
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为
mg ma
由匀减速直线运动的公式得
0 v2 2as
亦即 v 2 2gs
（3）
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3gl 3 2gs
l
（5）
当’取正值，则棒向左摆，其条件为
1 3
ml
2
2
（1）
第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的
冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽
略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受 的对转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴 的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
1
ml 2
mvl
1
ml 2
3
3
（2
）
式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。
3gl 3 2gs 0
亦即l >6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件
为
3gl 3 2gs 0 亦即l <6s
棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况 相似，也可由机械能守恒定律求得：
mgh 1 1 ml 2 2
(6)
23
把式（5）代入上式，所求结果为
h l 3s 6sl
2
例题5-6 工程上，常用摩擦啮合器使两飞轮以相同的 转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一 中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的转动惯
例题5-2 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。
R r dr
解：设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、
宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的
质量dm= 2rdr 。可得
J
r 2dm
R 2 r3dr
R4
1 mR2
0
22
例题5-3 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两
量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B
轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在 啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
A
B
C
A
B
C
A
或共同转速为
n 200r/ min
在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械 能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失 的机械能为
r
m2
m1
1 2
m
r
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，
有
T1
T2
2m1m2 m2 m1
g
a m2 m1 g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量
重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r 和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，
再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1 和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小， 这样就能角精确地测出a来。