椭圆的基本概念及性质适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域苏教版课时时长（分钟）120知识点1、椭圆的定义、几何图形、标准方程.2、椭圆的基本量.教学目标1、使学生掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.2、使学生掌握椭圆的一些基本量的求法、特别是离心率的求法教学重点1、椭圆的标准方程的求法；2、椭圆的一些基本量的求法、特别是离心率的求法；教学难点椭圆离心率的求法教学过程课堂导入已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是________椭圆中的基本量a.b.c分别代表什么，离心率、准线方程的公式，标准方程的公式分别应该怎么求？下面进入我们今天的学习！复习预习1、椭圆的定义、几何图形、标准方程.2、椭圆的基本量.知识讲解考点1椭圆的定义平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F1、F2间的距离叫做椭圆的焦距．考点2椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：x轴，y轴对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)A2(a，0)B1(0，－b)B2(0，b)A1(0，－a)A2(0，a)B1(－b，0)B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率e＝ca∈(0，1)a、b、c的关系c2＝a2－b2例题精析例1 设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P(4，1)在椭圆上，求该椭圆的方程．【答案】x 220＋y 25＝1或4x 265＋y 265＝1【解析】设该椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1(a>b>0)，依题意，2a ＝2(2b)a ＝2b.由于点P(4，1)在椭圆上，所以424b 2＋1b 2＝1或14b 2＋42b 2＝1.解得b 2＝5或654，这样a 2＝20或65，故该椭圆的方程为x 220＋y 25＝1或4x 265＋y 265＝1.例2 在平面直角坐标系中，有椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆．过点⎝⎛⎭⎪⎫a2c，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________．【答案】22【解析】如题图，PA、PB与圆O相切，由于切线PA、PB互相垂直，所以四边形OAPB为正方形，OP＝2OA，这样就得到一个关于基本量a、c的齐次方程，从而求解出比值ca(e)的值．由已知条件，四边形OAPB为正方形，所以OP＝2OA，所以a2c＝2a，解得ca＝22，即e＝22.例3 椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1【解析】(解法1)由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以|PF|＝|FA|， 而|FA|＝a 2c －c ，|PF|≤a ＋c ，所以a 2c－c ≤a ＋c ，即a 2≤ac ＋2c 2.又e ＝c a ，所以2e 2＋e ≥1，所以2e 2＋e －1≥0，即(2e －1)(e ＋1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.(解法2)设点P(x ，y)．由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以|PF|＝|FA|， 由椭圆第二定义，|PF|a 2c －x ＝e ，所以|PF|＝a 2c e －ex ＝a －ex ，而|FA|＝a 2c －c ，所以a －ex ＝a 2c －c ，解得x ＝1e (a ＋c －a 2c )．由于－a ≤x ≤a ，所以－a ≤1e (a ＋c －a 2c )≤a.又e ＝ca ，所以2e 2＋e －1≥0，即(2e －1)(e ＋1)≥0.1 2≤e<1.又0<e<1，所以例4如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M、N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．【答案】(1) 椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2) 证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.② (证法1)联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3. 由x 208＋y 202＝1可得x 20＝8－4y 20. 因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋4（3y 0－4）28（2y 0－3）2＝8－4y 20＋4（3y 0－4）28（2y 0－3）2＝32y 20－96y 0＋728（2y 0－3）2＝8（2y 0－3）28（2y 0－3）2＝1，所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．(证法2)设T(x ，y)．联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋（3y －4）22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 【解析】(1) 解：由题意知b ＝22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2) 证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.② (证法1)联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3. 由x 208＋y 202＝1可得x 20＝8－4y 20. 因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋4（3y 0－4）28（2y 0－3）2＝8－4y 20＋4（3y 0－4）28（2y 0－3）2＝32y 20－96y 0＋728（2y 0－3）2＝8（2y 0－3）28（2y 0－3）2＝1，所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．(证法2)设T(x ，y)．联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋（3y －4）22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．课程小结1. 椭圆的定义中应注意常数大于F 1F2.因为当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和等于F 1F 2时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和小于F 1F 2时，其轨迹不存在．2. 已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y2n＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B)．3. 求椭圆的离心率实质上是建立a ，b ，c 中任意两者或三者之间的关系，利用e ＝ca或e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2去整体求解．。