a
2
则公共点为 (1,1) ，则有 1 1 2m ，解得 m 1．故选： B ．
10.
函数
f
(x)
|
x|
ln(|
x | 1)
，
g(x)
1 2
x
a
a, x0 1 x, x 0 2
，若存在
x0
使得
f
(x0 )
g(x0 ) 成立，则整数 a
的最小值
为( )
A． 1
B．0
C．1
D．2
【答案】B 【难度】中 【考点】分段函数的应用 【解析】由函数 f (x) | x | ln(| x | 1) ，可得 f (x) f (x) ，即 f (x) 为偶函数，
2
即 f (2021) f （1） f （3） m 1 ， 又由 f (x) 为奇函数，则 f (1) f （1） m 1 ，
若 f (2021) 2 f (1) 1 ，则有 m 1 2m 1 1，
解可得： m 4 3
三、解答题（本大题共 4 小题，共 44 分。解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤）
则 f (x 1) f (3 x) f (x 3) ，即 f (x 4) f (x) ， 故函数 f (x) 的周期为 4，则 f (2021) f (1 2020) f （1）， 当 x (2, 4) 时， f (x) log 1 (x 1) m ，则 f （3） m 1 ，
A． , 2
B．
,
1 2
C． 2，
D．
2 2
，
【答案】D 【难度】中 【考点】奇函数与单调性的综合
【解析】由题可知
f
0
0 ，∴
不等式变成
f
log 2
x
f
1 2
0 ，移项得
f
log 2
x
f
1 2
，
∵ f x 为奇函数，∴
f
log 2
x
f
1 2
，
∵
f
x
在
R
上单调递增，得 log2
，即为
g(
x)
a
1 2
|
x
|
为偶函数，
当 x0 时， g(x) a 1 x 递增，可得 g(x) 的最小值为 g(0) a ，则 g(x) 在 R 上的最小值为 a ， 2
y f (x) ， y g(x) 的图象如图，
存在
x0
使得
f
(x0 )
g(x0 ) 成立， a
1 2
|
x
||
x
|
ln(|
可得 h(x) 在 x 1 处取得极小值，且为最小值 h （1） 1 ln2 ， 2
则 a 1 ln2 ，而 1 ln2 0 ，可得整数 a 的最小值为 0．故选： B ．
2
2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
11. 已知函数 f (x) t 2 xt 是幂函数，则曲线 y logt x t t 恒过定点___________．
【答案】 m 1
【难度】易 【考点】分式不等式，充要条件
【解析】q : 2 x 0 等价于 q : 1 x 2 ，由 p 是 q 的必要不充分条件知 1 x 2 x m ，得 m 1 x 1
-5-
14. 已知函数 f (x) 的图象关于原点对称，且满足 f (x 1) f (3 x) 0 ，当 x (2, 4) 时，
2
（1）当 a 1 时，求函数 f x 在区间1, e 的最小值； （2）讨论函数 f x 的单调性．
【答案】（1） 2 ln 2
（2）①当 a 0 时， f x x ， f x 在 0，+ 单调递增； ②当 a 0 时， f x 在 0，a 单调递减， a，+ 单调递增； ②当 a 0 时， f x 在 0，-2a 单调递减， 2a，+ 单调递增．
-1-
4. 已知 e 为自然对数的底数，又 a lg0.5 ， b e0.5 ， c 0.5e ，则 ( )
A． a b c
B． a c b
【答案】B 【难度】易 【考点】对数值大小的比较
C． c a b
D． b c a
【解析】因为 a lg0.5 0 ， b e0.5 1 ， c 0.5e (0,1) ，则 a c b ．故选： B ．
15. 已知 f x 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时， f x log1 x 1 ． 2
（1）求 f x 的表达式；
（2）若 f a 1 f 3 a ，求实数 a 的取值范围．
log1 x 1, x 0
【答案】（1）
f
x
2
log 1
x
1 ,
x
0
；（2）
a
2
2
【难度】易
a
的取值范围为
（）
A． (0,1]
B． 0,1
C． 0,1
D． 0，+
Hale Waihona Puke 【答案】A 【难度】易-2-
【考点】函数图象的考察
【解析】做出 f x 的图象，由图可知想要有两个实根，只需 0 a 1，故选 A
7.
已知奇函数
f
x在 R
上单调递增，则不等式
f
log 2
x
f
1 2
f
0 的解集为（
）
【考点】函数的基本性质
log1 x 1, x 0
【解析】（1）当 x
0 时，
f
x
f
x
log 1
2
x 1 ，故
f
x
2
log 1
x 1, x
；
0
2
（2）由题可知 f x 在[0, ) 上递减，又为偶函数，故由 f a 1 f 3 a 得 a 1 3 a ，
解得 a 2
-6-
16. 已知函数 f (x) 4x a2x 3 ， a R ．
故选： A ．
2.
已知函数 f x 的定义域为2, 3 ，则函数 F x
f x
x 2 log2
x
的定义域为（
）
A． (2,3]
B． (2,0) (0,3]
C． (2,0) 0, 2 2,3 D． (2,0) 0, 2 (2,3]
【答案】D
【难度】易
【考点】函数的定义域
2 x 3
由 x [0 ， 2] ，得 t [1， 4] ， y t2 4t 3 (t 2)2 1
当 t 2 时， ymin 1 ；当 t 4 时， ymax 3 ．
函数 f (x) 的值域为[1 ， 3] ；
（2）令 t 2x ，由 x 0 知 t 1 ，且函数 t 2x 在 (0, ) 单调递增．
x
|
1)
在
R
上有解，
-4-
由对称性，可考虑 x0 时， a 1 x ln(x 1) 成立， 2
设
h(
x)
1 2
x
ln( x
1)
，
x0
，可得导数为
h( x)
1 2
x
1
1
x 1 2(x 1)
，
当 x 1 时， h(x) 0 ， h(x) 递增；当 0x 1 时， h(x) 0 ， h(x) 递减，
【解析】由题可知 x
2
0
，解得 (2,0) 0, 2 (2,3] ，故选 D
x
0
3. 函数 f x x3 x 4 的零点所在的区间为（ ）
A． 1,0
B． (0,1)
C． 1, 2
D． (2,3)
【答案】C 【难度】易 【考点】零点存在定理
【解析】因为 f 0 4 0 ， f 1 2 0 ， f 2 6 0 ，所以 1, 2 一定有零点，故选 C
太原五中 2020-2021 学年度第一学期阶段性测试 高三数学（理）
命题人、校对人：王文杰、李廷秀、刘晓瑜、王芳（2020 年 9 月）
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）
1. 已知集合 A {x | x2 3x 2 0} ， B {x | x1} ，则 A B ( )
y
x2
ax
3
在
1,+
上恒正且单调递增，故
a 2
1
，
1 a 3 0
解得 (, 2] ，故选 A
9. 已知函数 f (x) x2 2m ， g(x) 3lnx x ，若 y f (x) 与 y g(x) 在公共点处的切线相同，则 m (
)
A． 3 【答案】B
B．1
C．2
D．5
-3-
【难度】中 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】设两曲线 y f (x) 与 y g(x) 的公共点 (a ， b)(a 0) ，
f x 单调递增，∴ 2 1, e ，∴ f x 的最小值为 f 2 2ln 2 1 22 2 2ln 2
原问题转化为方程 t2 at 3 0 在 (1, ) 上有两个不等实根，求 a 的取值范围．
设
g(t)
t2
at
3
，则
0
a 2
1
g(1) 0
，即
a2 12 a 2
a 4
0
0
，解得
4
a
2
3．
实数 a 的取值范围是 (4, 2 3) ．
17. （本小题 12 分）已知函数 f x 2a2 ln x 1 x2 ax, a R ．
【难度】中 【考点】最值，单调性讨论