抛物线焦点弦问题
河北省武安市第一中学郅武强
抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下：一．弦长问题：
例斜率为1的直线经过抛物线
24y x =的焦点，与抛物线相交A .B两点，求线段AB 的长。
分析：
利用弦长公式12
d x =-能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运
根据抛物线的定义，11
AF x =+同理 21
BF x =+
于是得
122
AB AF BF x x =+=++
由题已知
{
21
4y x y x
=-=消去y 得2
610x x -+=
故126x x += ∴628
AB =+= 注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：12AB x x p =++或
12AB y y p
=++。
二. 通径最短问题：
例：已知抛物线的标准方程为2
2y px =，直线l 过焦点，和抛物线交与A.B 两点，求
AB 的最小值并求直线方程。
解：①如果直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为
2p
x =
2A B p =
②如果斜率存在，不妨设斜率为k ，则直线的方程为(
2p y k x =-，与抛物线方程联立方程组得
22( 2y px
p y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222
(2 04k p k x k p p x -++=
若0k ≠ 则222
440k p p ∆=+>
1222p
x x p k +=+
则
1222222p p AB x x p p p p k k =++=+
+=+
当k →∞时 AB
最小即min 2AB p = 此时 2p
x =
三．两个定值问题：
例：过抛物线2
2y px =的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为1x 、2x 、1y 、2y ，求证：2
114p x y =
，212y y p =-。
证明：①联立22( 2y px p y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222
(2 0(0
4k p k x k p p x k -++=≠
2
124p x x =
同理消去y 可得 2
12y y p =-；
②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；
③斜率不存在时，2
114p x y = ，2
12y y p =-同样是定值；从上所述：2
114p x y =，2
12y y p =-
四．一个特殊直角问题：
过抛物线2
2(0 y px P =>的焦点F 的直线与抛物线交与A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线
的准线上的射影分别是1A ，1B 求证：1190A FB ︒
∠=。
设A 坐标为（1x ，1y ）B 坐标为（2x ，2y ）
11(, 2p A y - ，12(,
2p B y -
12(, FB P y =- , 12(, FB P y =-
2
1212F A F A P y y ⋅=+ 又由上题可知 120FA FA ⋅= ，212y y P =- 。
五．线段AB 为定长中点到y 轴的最小距离问题
例：定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2
y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求
点M 到y 轴的最小距离。
解：抛物线焦点1(,0 4F , 准线
1
:4l x =-
，设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ，设点00(, M x y 则
111111( 22AA BB AA BB AB +=
+≥ 又
1014MM x =+
3AB = ∴01342x +≥，所以
5
4x ≥，
即0x 的最小值是5
4
∴点M 到y 轴的最小距离是5
4，当且仅当AB 过点F
是取得最小距离。
六．一条特殊的平行线
例：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P 、Q, 经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M ，求证：直线MQ 平行于抛物线的对称轴。
设抛物线的标准方程为22y px =，设P 、Q 的坐标为
11(, x y ，22(, x y
则PO 的直线坐标为
11(, 22Py P x -- 又2112y x p = 带入M 的纵坐标 2112
111222Py Py P y y x y p -=-=-=
又2
2
1212P y y P y y -=-⇒=⇒
M 的坐标为02y y = 故直线ＭＱ平行于抛物线的对称轴。
七．一个特殊圆
例：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。
证明：设抛物线的方程为 2
2y px =，则焦点(,0 2P F ，
准线2P
x =-
，设以过焦点Ｆ的弦ＡＢ为直径的圆的
圆心Ｍ，Ａ、Ｂ、Ｍ在准线l 上的射影分别是
1A 、1B 、1M 则11AA BB AF BF AB
+=+=
又
111
2AA BB MM +=
∴
11
2MM AB =
，即1MM 为以ＡＢ为直径的圆的半径，且准线l ⊥1MM
∴命题成立。
本篇总结了过焦点的弦与直线的七条性质，认识这几条性质可以更清楚地认识抛物线。
八．一个特殊值：例：已知抛物线
2
11212( 2
12422112
2412121121122(, 2(
24
p p
x y p y k x p y px x x x x p p m n y px n x n p A x y p p m n p m n mn p x x x x
+=+=-==⎧⎧+++⎪=+==+=⇒+===⎨⎨⎪⎩⎩++22y px = 过焦点F 弦AB 被焦点分成m 、n 的两部分，则
112
m n p
+=
①假设直线AB 的斜率不存在则
112m n p m n p
==⇒
+= ②若AB 的斜率存在，不妨设斜率为k 则直线AB 的方程为2( 2
2p y k x y px =-=⎧⎨⎩
设1
1
(, A x y ，2
2
(, B x y 则2
11122
4p x y p p
x x +=+=⎧⎪⎨⎪⎩
又12p m x =+
22
p
n x =+ 1221212112 (
24
x x p m n
p p m n mn
p x x x x ++++===++。