x(0)=[2,1,0]T转移到x(2)=0。
1 1
2 1
1
x(2) Gx(1) hu(1) 6 2u(0) 0u(1)
0 1
1
例 双输入线性定常离散系统的状态方程为：
2 2 1
0 0
x(k
1)
0
2
0
x(k
)
0
1u (k )
1 4 0
1 0
试判断其能控性，并研究使x(1)=0的可能性
a0
引入非奇异线性变换 x Px
例 已知能控的线性定常系统动态方程
1 0 1 0 x 0 1 0x 1u
1 0 0 1
y 1 1 0x
试将其变换成能控标准形
解
0 1 1
Qc b Ab A2b 1 1 1
u(1)
H
M u(k 2)
u(k 1) kr1
若系统能控，对于任意的初始状态，在第k步可以使x(k)=0，（k≥n/r）
例 设单输入线性离散系统的状态方程为
1 0 0
1
x(k
1)
0
2 2 x(k) 0u(k)
1 1 0
1
试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=[2,1,0]T，确定使x(3)=0的控制序列 u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性
rank QO
rank CA2
n
CAn
1
定理三：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是(n+m)×n型矩阵
C
I
A
对A的每一个特征值λi之秩为n。（PBH判别法）
非奇异变换不改变系统的能观测性
定理三：线性定常连续系统，若A 的特征值互异，经非奇异变换后为
1
x
2
x Bu
n
y Cx
rank T e A d [B, e AT B, e A(n1)T B] n 0
定理二：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也
能控（能观测）的必要条件是 2k j 不是A的特征值。其中k为非零整数
T
证明 设A的特征值为λ1、λ2、…λn则 T e A d 的特征值为： 0
m×n型矩阵C(t)φ(t,t0)的n个列在[t0，t1]上线性无关。
定理三：如果线性时变系统的A(t)和C(t)是(n-1)阶连续可微的，若存在一
个有限的t1>t0，使得
N0 (t1)
rank
N1
(t1
)
n
N n 1 (t1 )
则系统在t0时刻能观测的，其中 N0 (t) C(t)
（充分条件）
y(k) CGk x(0)
y(0) Cx(0) y(1) CGx(0) y(n 1) CG n1x(0)
五：连续系统离散化后的能控性与能观测性
定理一：如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样 周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的
证明：用反证法
设连续系统不能控，而对于某采样T离散化后的系统却是能控的。则 rank[H、GH、G2H、…Gn-1H]=n
对偶系统有两个基本特征: 1)传递函数阵互为转置 2)系统特征值相同
3-6 能控标准形和能观测标准形 a1 a2 L an1 1
一：能控标准形
a2
L
an1
1
一个P单1 输b入A系b 统A，2b 如L果其AnA1b、 banM阵1 具N1有如N 下形0 式：
0 1 0 1 0
0
则
A PAP 10,
3-3 能观测性及其判据 一：能观测性的概念 定义：设n维线性定常系统的动态方程为
x Ax Bu
y
Cx
Du
如果在有限的时间间隔内，根据给定的输入值u(t)和输出值y(t)，能够确定系
统的初始状态x(t0)的每一个分量,则称此系统是状态完全能观测的，简称能 观测的。若系统中至少由一个状态变量不能观测，则称此系统是不完全能
T e A d [B, e AT B,L e A(n1)T B]
0
rank H ,GH ,L Gn1H n
定理三：设系统（A、B、C）能控，采样周期T满足如下条件：对A的
任意两个特征值λ1、λ2，不存在非零整数k，使
1
2
2k
T
j
成立，则以T为采样周期的离散化系统也是能控的。
本定理为充分条件，对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。
T e1 d 0
T e2 d 0
T en d 0
如果λi=0，则
T ei d T 0
0
如果λi≠0，则
T ei d 0
1
i
(eiT
1)
0
0
i
2k
T
j
i
2k
T
j
可见当
2k T
j
（k为非零整数）为A的特征值时
T
0
e
A
d
的特征值中出现0
T e A d 不可逆,由于 0
H , GH ,L Gn1H
(t, t0 )CT
(t)C(t)(t,t0 )x0dt
t1 t0
T
(t,
t0
)CT
(t
)
y(t
)dt
W (t0,t1)x0
t1 t0
T
(t
,
t0
)CT
(t
)
y(t
)dt
x0
W 1(t0 , t1)
t1 t0
T
(t
,
t0
)CT
(t
)
y(t
)dt
二：能观测性判据 1 线性时变系统
定理一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵：
rank[B, e AT B, e A(n1)T B] n
由于eAiT可用I、A、A2、…An-1线性表示，故 rank[B, e AT B, eA(n1)T B] rank[B, AB, An1B]
rank[B, AB, An1B] n
连续系统是能控的，矛盾 本定理也可叙述为： 如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一 定是能控（能观测）的
y(k) CGk x(0)
y(0) Cx(0) y(1) CGx(0) y(n 1) CG n1x(0)
定义
C
CG
Qo
CG 2
CG n1
为离散系统的能观测性矩阵。上述方程要唯一确定x(0)的充要条件是rankQo=n
因此线性定常离散系统能观测的充要条件为rankQo=n
若 rankA rankA~ 则可以求出u(0)，使x(1)=0
若 rankA rankA~
则不存在u(0)，使x(1)=0
三：能观测性定义 对于离散系统，其定义为：已知输入向量序列u(0)、u(1)、…u(n-1)及有 限采样周期内测量到的输出向量序列y(0)、y(1)、…y(n-1),能唯一确定任 意初始状态向量x(0),则称系统是完全能观测的，简称系统是能观测的
线性定常离散系统方程为 x(k 1) Gx(k) Hu (k)
一：能控性定义
y(k) Cx(k)
对于任意给定的一个初始状态x(0)，存在k>0，在有限时间区间[0，k]内， 存在容许控制序列u(k)，使得x(k)=0，则称系统是状态完全能控的，简称 系统是能控的
二：能控性判据
线性定常离散系统能控的充分必要条件是n×nr型矩阵Qc满秩，即
四：能观测性判据
设n维离散系统的动态方程为 x(k 1) Gx(k) Hu (k)
y(k ) Cx(k) Du (k)
k 1
其解为 x(k ) Gk x(0) Gk1i Hu(i) i0 k 1 y(k ) CGk x(0) C Gk1i Hu(i) Du(k ) i0
在讨论能观测性时，假定u(k)=0,(k=0、1、…n-1)
4 3
1
1
令 x(3) 0
1 1 1u(0) 2
2
2
0
u(1)
12
3 1 1u(2) 4
u(0) 5
u(1)
11
u(2) 8
若令 x(2) 0
1 1
2
2 1
10 uu((10))
6 0
2 1
无解系。统即是不能存控在的控制序x(列1) u（Gx0(0）) ，huu(（0) 1） 2能够 使0u系(0统) 从初始状态
N k 1 (t )
Nk
(t) A(t)
d dt
Nk
(t)
2：线性定常系统
定理一:对于线性定常系统，其能观测的充要条件是
W (0, t1)
t1 e AT tC T Ce At dt
0
满秩,或 C(t) 的列线性无关.
定理二：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是能观测性矩阵QO满 秩，即
C
CA
0
t1 yT (t) y(t)dt 0 t0
y(t) 0
二：能观测性判据 1 线性时变系统
定理一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵：
W (t0,t1)
t1
t0
T
(t
,
t0
)C
T
(t
)C
(t
)
(t
,
t0
)dt
为非奇异矩阵
定理二：系统在t0时刻能观测的充要条件是存在一个有限时刻t1>t0，使得
解
1 1 1
Qc h Gh G2h 0 2 2
1 1 3
rankQc 3
系统是能控的
2 1
x(1)