教材习题点拨练习A1．解：∵a ≠b ，∴a ＞b 或a ＜b .2．解：(1)成立；(2)不一定成立；(3)一定成立． 3．解：(1)a ≥0；(2)－2≤a ＜3；(3)2＜|a －b |≤9.4．解：x 2＋2x －(－x －3)＝x 2＋3x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x ＋322＋34.∵⎝⎛⎭⎫x ＋322≥0， ∴⎝⎛⎭⎫x ＋322＋34＞0.∴x 2＋2x ＞－x －3. 练习B1．解：4a 4＋a 2－1＝4a －(4＋a 2)4＋a 2＝－a 2－4a ＋44＋a 2＝－(a －2)24＋a 2.∵(a －2)2≥0,4＋a 2＞0， ∴－(a －2)24＋a 2≤0.∴4a4＋a 2≤1. 2．证明：a 2＋4b 2－2b (a ＋b )＝a 2＋4b 2－2ab －2b 2 ＝a 2－2ab ＋2b 2＝(a －b )2＋b 2. ∵a ≠b ，∴(a －b )2＞0. 又∵b 2≥0，∴(a －b )2＋b 2＞0. ∴a 2＋4b 2＞2b (a ＋b )． 3．解：(a 5＋b 5)－(a 3b 2＋a 2b 3) ＝(a 5－a 3b 2)＋(b 5－a 2b 3) ＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )(a ＋b )(a －b )(a 2＋ab ＋b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋12b 2＋34b 2. ∵a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，∴(a －b )2＞0，a ＋b ＞0，⎝⎛⎭⎫a ＋12b 2＋34b 2＞0， 故上式＞0，即a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3.4．证明：lg x ＋log x 10－2＝lg x ＋1lg x －2＝(lg x －1)2lg x .∵x ＞1，∴lg x ＞0，(lg x －1)2≥0， ∴(lg x －1)2lg x≥0，∴lg x ＋log x 10≥2.当且仅当lg x ＝1，即x ＝10时，原式中的等号成立．练习A1．解：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜ (5)＞ (6)＜2．解：(1)a ＞b ⇒ac ＞bc 是假命题．理由：∵a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ，c ＝0⇒ac ＝bc ＝0.(2)a ＞b ⇒ac 2＞bc 2是假命题．理由：∵a ＞b ，c 2＞0⇒ac 2＞bc 2；a ＞b ，c 2＝0⇒ac 2＝bc 2＝0.(3)a ＞b 且a lg c ＜b lg c ⇒0＜c ＜1是真命题．理由：a ＞b 且a lg c ＜b lg c ⇒lg c ＜0⇒0＜c ＜1.3．解：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜ (5)＜4．解：(1)不能，当a ＞b ＞0,0＞c ＞d 时，ac 与bd 的大小无法判断．如2＞1，－1＞－2,2×(－1)＝1×(－2)；2＞1，－2＞－3,2×(－2)＜1×(－3)；2＞1，－12＞－2，2×⎝⎛⎭⎫－12＞1×(－2)． (2)不能，如2＋1＞3－1，此时a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝－1，有a ＜b ，c ＞d ； 但1＋2＞－1＋3，此时a ＝1，b ＝－1，c ＝2，d ＝3，有a ＞b ，c ＜d . (3)不能．①当ab ＞0，即a 、b 同号时，若a ＞b ，则1a ＜1b .②当ab ＜0，即a 、b 异号时，若a ＞b ，则1a ＞1b.5．证明：(1)∵(a 2＋7)－5a ＝a 2－5a ＋7＝⎝⎛⎭⎫a －522＋34＞0，∴a 2＋7＞5a . (2)∵(a 2＋a )－(2a －1)＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，∴a 2＋a ＞2a －1. (3)∵(a 2＋1)－2a ＝(a －1)2≥0， ∴a 2＋1≥2a .(4)∵4a 4－(4a 2－1)＝4a 4－4a 2＋1＝(2a 2－1)2≥0，∴4a 4≥4a 2－1. 练习B1．解：(1)＞ (2)＞ (3)＞ 2．证明：(1)∵0＞a ＞b ，c ＜0， ∴ab ＞0，b －a ＜0. ∴c a －c b ＝c (b －a )ab ＞0.故c a ＞cb. (2)∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －d ＞0，b －c ＞0，b －a ＜0，d －c ＜0.∴1a －d －1b －c ＝(b －c )－(a －d )(a －d )(b －c )＝(b －a )＋(d －c )(a －d )(b －c )＜0.故有1a －d ＜1b －c. (3)∵c a －c －cb －c ＝c [(b －c )－(a －c )](a －c )(b －c )＝c (b －a )(a －c )(b －c ). 又∵a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a －c ＞0，b －c ＞0，b －a ＜0.3c ＜a ＋b ＋c ＝0.∴c ＜0. 故c a －c －c b －c ＝c (b －a )(a －c )(b －c )＞0. ∴c a －c ＞c b －c. 3．解：∵1＜a ＜2＜b ＜3，∴1＜a ＜2,2＜b ＜3，－3＜－b ＜－2，13＜1b ＜12，∴3＜a ＋b＜5，－2＜a －b ＜0，－5＜a －2b ＜－2,2＜ab ＜6，13＜ab＜1.习题3－1A1．解：如每次考试中两位同学成绩的高低，同桌的身高、体重等关系． 2．解：(1)12－1＝2＋1(2－1)(2＋1)＝2＋1， ∴12－1－(23－1)＝2＋1－23＋1＝2＋2－2 3. (2＋2)2－(23)2＝6＋42－12＝42－6，(42)2＝32＜36＝62. ∴(2＋2)2－(23)2＜0.∴2＋2＜2 3.∴12－1＜23－1. (2)∵log 1213＝log 23＝log 49＞log 48，∴log 1213＞log 48.3．解：(1)∵(2a ＋1)(a －3)－(a －6)(2a ＋7)－45＝2a 2－5a －3－(2a 2－5a －42)－45＝2a 2－5a －3－2a 2＋5a ＋42－45＝－6.∴(2a ＋1)(a －3)＜(a －6)(2a ＋7)＋45.(2)∵(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋1－⎝⎛⎭⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)＝x 3＋x 22＋x ＋x 2＋x 2＋1－x 3－x 2－x －12x 2－12x －12＝12＞0. ∴(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋1＞⎝⎛⎭⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)． (3)∵1－2xx 2＋1＝x 2－2x ＋1x 2＋1＝(x －1)2x 2＋1.∵x 2＋1＞0，(x －1)2≥0，∴原式≥0.∴1≥2xx 2＋1.(4)∵a 2＋b 2－(2a ＋2b －2)＝a 2－2a ＋b 2－2b ＋2＝a 2－2a ＋1＋b 2－2b ＋1＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2a ＋2b －2.(5)∵3(a 2＋2b 2)－8ab ＝3a 2－8ab ＋6b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －4b 32－163b 2＋6b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －4b 32＋23b 2≥0，∴3(a 2＋2b 2)≥8ab .4．证明：(1)∵a ＞b ，∴－a ＜－b ，∴c －a ＜c －b . (2)∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b .∵c ＜0，∴c a ＞cb .(3)∵c ＞d ＞0，∴0＜1c ＜1d .又∵a ＞b ＞0，∴a d ＞bc ＞0.∴a d＞b c. 5．解：(1)∵π4＜α＜π2，∴π2＜2α－π.又∵0＜β＜π3，∴π2＜2α＋β＜43π.(2)∵0＜β＜π3，∴－π3＜－β＜0.又∵π4＜α＜π2，∴－π12＜α－β＜π2.∴－π24＜α－β2＜π4.6．解：(1)由题意得：8 000－800x ＜6 000. (2)由题意得：乙班人数为360x ，甲班人数为360x －1.∴360x ＋5≤360x －1.∵x ＞1，∴5x 2－5x －360≤0.化简得x 2－x －72≤0. 习题3－1B1．证明：(1)∵a 2＋b 2＋5－2(2a －b )＝a 2＋b 2＋5－4a ＋2b ＝a 2－4a ＋4＋b 2＋2b ＋1＝(a －2)2＋(b ＋1)2≥0. ∴不等式成立，且当a ＝2，b ＝－1时，等号成立．(2)∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝a 2－2a ＋1＋b 2＋2b ＋1＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0， ∴不等式成立，且当a ＝1，b ＝－1时，等号成立． (3)∵a 2＋b 2＋c 2＋d 2－ab －bc －cd －da ＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2＋2d 2－2ab －2bc －2cd －2da ) ＝12[(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(c 2＋d 2－2cd )＋(d 2＋a 2－2da )]＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －d )2＋(d －a )2]≥0. ∴不等式成立，且当a ＝b ＝c ＝d 时，等号成立． (4)∵⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－a 2＋b22＝－a 2－2ab ＋b 24＝－(a －b )24≤0，∴原不等式成立，且当a ＝b 时，等号成立．2．解：设y ＝x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1) ＝(x －1)(x 2＋1)， ∵x 2＋1＞0，故(1)当x ＞1时，x －1＞0，y ＞0，即x 3＞x 2－x ＋1； (2)当x ＜1时，x －1＜0，y ＜0，即x 3＜x 2－x ＋1； (3)当x ＝1时，x －1＝0，y ＝0，即x 3＝x 2－x ＋1. 3．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧8(x ＋19)＞2 200，8(x ＋19)x －12＞9.(2)0.22＋0.11(x －3)≤0.60.(x ≥3，且x ∈Z )4．解：设m ＝log a (3x 2＋4xy ＋y 2)，n ＝log a (2x 2＋6xy )， ∴a m ＝3x 2＋4xy ＋y 2，a n ＝2x 2＋6xy ， ∴a m －a n ＝x 2－2xy ＋y 2＝(x －y )2＞0(x ≠y )． ∴当0＜a ＜1时，m ＜n ；当a ＞1时，m ＞n .∴当0＜a ＜1时，log a (3x 2＋4xy ＋y 2)＜log a (2x 2＋6xy )； 当a ＞1时，log a (3x 2＋4xy ＋y 2)＞log a (2x 2＋6xy )．5．解：设a b ＝c d ＝k (k ＞0)，则b ＝a k ，d ＝c k ，∴b －d ＝a k －c k ＝a －ck .∴(a ＋d )－(b ＋c )＝a －c －(b －d )＝a －c －a －c k ＝(a －c )⎝⎛⎭⎫1－1k ＝(a －c )·k －1k. ∵a ＞b ，且a 、b 为正数，∴ab ＞1，即k ＞1，∴k －1＞0.又∵a ＞c ，∴a －c ＞0.∴(a －c )·k －1k ＞0.∴a ＋d ＞b ＋c .。