一、填空题（每小题3分×5=15分）
1、设===-++=z x z y y x f y x z 则时且当,,0),(2
2、==dz y
x
arc z 则),cot(
3、⎰⎰---=11102
),(y y dx y x f dy I 交换积分次序后，=I
4、级数∑
∞
=12sin
1n n
n
，其敛散性是
5、微分方程x
x
x y y tan +
-
='的通解是=y 二、单项选择题（3分×5=15分）
1、),(),(y x y x f z 在点=存在偏导数是),(),(y x y x f z 在点=处连续的（ ） A 、充分条件 B 、必要条件
C 、充要条件
D 、既不充分又不必要
2、⎰⎰=≥≤+D
d y x f I x y x D σ),(),0(,1:22则在极坐标系下的二次积分是=
I （ ） A 、⎰⎰-
=22
10)sin ,cos (ππθθθdr r r f d I B 、⎰⎰=201
0)sin ,cos (2πθθθrdr r r f d I
C 、⎰⎰-=2
1
0)sin ,cos (ππθθθrdr r r f d I D 、⎰⎰-
=22
1
02)sin ,cos (21
ππθθθdr r r r f d I
3、x y x y L -==,2是围成的平面区域的整个边界，),(y x f 是连续函数，则
⎰=L
ds y x f I ),(化为定积分是（ ）
A 、⎰⎰-+-=1
10
),(),(dx x x f dx x x f I ；
B 、⎰--++=0
122]2),(41),([dy y y f y y y f I ；
C 、⎰++
=1
]2),(41
1),([dx x x f x
x x f I ； D 、⎰--+=01
2]2),(),([dy y y f y y f I 。

4、)21(1)(x x f +=
在x=0处的幂级数展开式是（ ）)2
1
(<x A 、n
n n
n
x ∑∞
=-12)1( ； B 、n n n n x 2)1(0∑∞=-；
C 、n n n x ∑∞
=1
2； D 、n n n x ∑∞
=0
2。

5、微分方程x xe y y 22='-''的待定特解是（ ） A 、x e b ax y 2)(+=*； B 、x axe y 2=*； C 、x e ax y 22=*； D 、x e b ax x y 2)(+=*。

三、设 ),(2
2
y
x e y x f z -=,f 具有二阶连续偏导，求y
x z
∂∂∂2。

(8分)
四、设 32),,(yz x z y x f =，其中),,(z y x f z =是由方程1-=-e xyz e z 确定的隐
函数，求)1,1,1('
x f 。

(8分)
五、计算dv z y x I )(222++=⎰⎰⎰Ω
,其中Ω是由 1222=++z y x 所围成的闭区域(8分)
六、L 是以O(0,0)，A(1,-1)，B(1,2)为顶点的三角形正向边界，求
⎰+++=L
dy y x dx y x I )(2)(222。

(8分)
七、求⎰⎰∑
=+=∑-++=1,,)2(222z y x z dxdy z z ydzdx xdydz I 是其中围成立体表面外
侧。

(8分)
八、求幂级数 ∑∞
=+-0
)1(1n n
x n n 的收敛域及和函数s(x)。

(8分)
九、解微分方程0,0,ln 11='=='+''==x x y y x x y y x 。

(8分)
十、 设曲线积分⎰+L
dy x y dx xy )(2ϕ与路径无关，其中)(x ϕ具有连续导数，且
0)0(=ϕ,求)(x ϕ，并计算 ⎰+=)
1,1()
0,0(2)(dy x y dx xy I ϕ的值。

(6分)
十一、 试求曲面 22y x z += 及 22y x z += 所围立体体积。

(8分)。