一． 选择题：（每小题3分，共15分）
1. 若当0x →时，arctan x x -与n
ax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B.
13 C. 3- D. 1
3
- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3
()f x x =
C. ()e e x
x
f x -=+ D. 1,10
()0,01
x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩
3. 如果()e ,x
f x -=则(ln )
d f x x x
'=⎰ ( )B A. 1C x -
+ B. 1
C x
+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.
曲线y x
=
渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为
偶函数，则
[()()]d a
a f x g x x -''''+=⎰( ) D
A. ()()f a g a ''+
B. ()()f a g a ''-
C. 2()f a '
D. 2()g a '
二． 填空题：（每小题3分，共15分）
1. 要使函数22
32()4
x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = .
14
2. 曲线2
e x y -=在区间 上是凸的.
(,22
-
序号
3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+
4. 曲线2
3
1x t y t
⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.
定积分1
1
(cos x x x -+=⎰ .
π2
三．解下列各题：（每小题10分，共40分）
1．求下列极限
（1）22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤
-⎢⎥+⎣
⎦. 解：原式=2240ln(1)
lim x x x x
→-+ …………..2分 2302211lim
.42
x x
x x x →-+== ………….3分 （2）()2
2
2
20
e d lim e d x
t x
x t t t t
-→⎰⎰
.
解：原式= ()
2
2
2
20
2
e d e lim
e
x
t x x x t x --→⋅⎰
………….3分 2
2
00
0e d e =2lim
2lim 2.1
x t x
x x t x
--→→==⎰ …………..2分
2. 求曲线0π
tan d (0)4
x y t t x =≤≤⎰的弧长.
解：
s x x == …………..5分
π
π440
sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰
解：1
(),1e x
f x -=
+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e x
x x
f x x x x ---=-=++⎰
⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分
4. 已知2lim e d ,x
c x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
⎰求常数.c 解：2lim e ,x
c x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭
………….4分 221e d (24
c
x
c c x x -∞
=-⎰ …………. 4分 5
.2
c = …………. 2分
四．解下列各题：（每小题10分，共30分）
1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >且1
()()d d ,()
x
b
a x
F x f t t t f t =-⎰⎰
求证： （1）[,],()2;x a b F x '∀∈≥
（2）()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.
证明：（1）1()()2,()F x f x f x '=+
≥= ……3分 （2）()F x 在[,]a b 上连续 ……1分
1
1()()d d d 0,()()
a b
b a
a
a F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰
⎰ ……2分
1
()()d d ()d 0,()
b b
b a
b
a F
b f t t t f t t f t =-=>⎰⎰
⎰ ……2分
由零点定理，()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分 又()F x 在[,]a b 上严格单调增，从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.
……1分
2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线
1x =围成图形的面积为2.S
（1）确定a 的值，使12S S S =+取得最小值，并求此最小值; （2）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
解：2
2
(0,0),(,)y ax a a y x
=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1
220
()d ()d a a
S ax x x x ax x =-+-⎰⎰
31,323
a a =-+
21()0,22
S a a a '=-
=⇒=
唯一驻点
()20,S a a ''=>最小值2(
.26
S = ……..4分
1222222
π[(
)()]d π[()()]d 22
x V x x x x x x =-+-
1
π.30
+=
……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)(1)0,f f ==证明：存在(0,1),ξ∈使得
()()0.f f ξξξ'''+=
证明：令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微， ……..3分
(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微，由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'
……..3分
(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()()，F x f x xf x ''''=+
(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。