高中数学难题100道（1-10题）第1题（函数与求导题）【湘南中学2019届高三试题】已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若a>1,存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围。

第2题（椭圆题）1. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，直线l经过F 且与椭圆交于A ，B 两点． (1)给定椭圆的离心率为√22．①若椭圆的右准线方程为x =2，求椭圆方程； ②若A 点为椭圆的下顶点，求AFBF ；(2)若椭圆上存在点P ，使得△ABP 的重心是坐标原点O ，求椭圆离心率e 的取值范围．()2()ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠()f x []12,1,1x x ∈-12()()1f x f x e -≥-e a第3题（函数与求导题）已知函数2211()()ln (1)124f x x x x x a x =---++，a R ∈.（1）试讨论函数()f x 极值点个数；（2）当2ln 22a -<<-时，函数()f x 在[1+∞，）上最小值记为()g a ，求()g a 的取值范围.第4题（函数与求导题）已知()ln ,f x x ax a a R =-+∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若21()()(1)2g x f x x =+-有三个不同的零点，求a 的取值范围.第5题（函数与求导题）已知函数2()()ln f x a x x x b =-++的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为330x y --= （1）求,a b 的值；（2）如果对任何0x >，都有()['()3]f x kx f x ≤⋅-，求所有k 的值；第6题（函数与求导题）(2018浙江)已知函数()ln f x x =．(1)若()f x 在1x x =，2x (12x x ≠)处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-； (2)若34ln 2a -≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．第8题（函数与求导题）已知函数f(x)=2x+lnx−a(x2+x)．(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线y=−3x平行，求实数a的值；(2)若存在x∈(0,+∞)，使得不等式f(x)≥0成立，求实数a的取值范围；(3)当a=0时，设函数p(x)=2x+1−f(x)，q(x)=x3−mx+e(其中e为自然，试确定函数h(x)的零点对数底数，m为参数).记函数h(x)=p(x)+q(x)+|p(x)−q(x)|2个数．已知函数1()ln f x x a x x=-+． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2-<--f x f x a x x ．第10题（函数与求导题） 已知函数2()e =-xf x ax ．(1)若1=a ，证明：当0≥x 时，()1≥f x ； (2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．高中数学难题100道（参考答案）第1题（函数与求导题）解：（Ⅰ）． 1分因为当时，，在上是增函数， 因为当时，，在上也是增函数，所以当或，总有在上是增函数， 3分 又，所以的解集为，的解集为， 故函数的单调增区间为，单调减区间为． 6分 （Ⅱ）因为存在，使得成立，而当时，所以只要即可．又因为，，的变化情况如下表所示：所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值． 8分因为， 令，因为，所以在上是增函数．而，故当时，，即；所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得； 12分()ln 2ln 2(1)ln x xf x a a x a x a a '=-=-++1a >ln 0a >()1ln xa a -R 01a <<ln 0a <()1ln xa a -R 1a >01a <<()f x 'R (0)0f '=()0f x '>(0,)∞+()'0f x <(),0-∞()f x (0,)∞+(),0-∞12,[1,1]x x ∈-12()()e 1f x f x --≥[1,1]x ∈-12max min ()()()()f x f x f x f x --≤max min ()()e 1f x f x --≥x ()f x '()f x ()f x [1,0]-[0,1][1,1]x ∈-()f x ()()min 01f x f ==()f x ()max f x ()1f -()1f 11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++1()2ln (0)g a a a a a=-->22121()1(1)0g a a a a '=-=->+1()2ln g a a a a=--()0,a ∈+∞(1)0g =1a >()0g a >(1)(1)f f >-1a >(1)(0)e 1f f --≥ln e 1a a --≥ln y a a =-(1,)a ∈+∞e a ≥第2题（椭圆题）解：(1)①由题意可得{ ca =√22a 2c=2a 2=b 2+c 2，解得a =√2，b =1，∴椭圆方程为x 22+y 2=1．②F(c,0)，A(0,−b)，∴直线AB 的方程为y =bc x −b ， ∵e =c a=√22，∴b =c ，a =√2b ，∴即直线AB 方程为y =x −b ，联立方程组{x 2a 2+y 2b 2=1y =x −b ，消元得x 2−2bx =0， ∴x =0或x =2b ，∴B 点横坐标为2b ，∴AFBF =c2b−c =1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0).，依题意直线l 的斜率不能为0，故设直线l 的方程为：x =my +c ， 由{b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2x=my+c，得(b 2m 2+a 2)y 2+2mcb 2y −b 4=0． y 1+y 2=−2mcb 2b 2m 2+a 2，x 1+x 2=my 1+c +my 2+c =2a 2cb 2m 2+a 2要使△ABP 的重心是坐标原点O ，则有{x 1+x 2+x 03=0y 1+y2+y 03=0∴{x 0=−2a 2cb 2m 2+a 2y 0=2mcb 2b 2m 2+a 2P(x 0,y 0)在b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2上，得b 2⋅4a 4c 2(b 2m 2+a 2)2+a 2⋅4m 2c 2b 4(b 2m 2+a 2)2=a 2b 2，⇒b 4m 4+(2b 2a 2−4c 2b 2)m 2+a 4−4a 2c 2=0， ⇒(b 2m 2+a 2)(b 2m 2+a 2−4c 2)=0， ∵⇒b 2m 2+a 2>0，∴椭圆上存在点P ，使得△ABP 的重心是坐标原点O ，则方程b 2m 2+a 2−4c 2=0必成立． ∴a 2−4c 2≤0，⇒c 2a 2≥14⇒e =c a ≥12，椭圆离心率e 的取值范围为[12,1)．第3题（函数与求导题） 解：（1）∵()1)ln 2f x x x a '=---（，记()(1)ln 2h x x x =--，则1()ln 1h x x x '=+-，211()0(0)h x x x x''=+>>时∴()h x '在0+∞（，）上递增且(1)0h '=. ∴当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>. ∴()h x 在0,1（）上递减，在1+∞（，）上递增， 又0x →时，()h x →+∞，x →+∞时，()h x →+∞，min ()(1)2h x h ==-， ∴当2a ≤-时，()0f x '≥，()f x 在定义域上递增，∴无极值点， 当2a >-时，()y f x '=有两变号零点，∴有两极值点.（2）由（1）知，()f x '在[)1+∞，上递增， 又∵(1)20f a '=--<，(2)ln 220f a '=-->.∴存在唯一实数(1,2)t ∈使()0f t '=，(1)ln 2a t t ∴=--，()f x ∴在]1t （，上递减，在[),t +∞上递增， 22min 11()()()ln (1)124f x g a t t t t a t ∴==---++2211ln 124t t t t =--++ 又明显(1)ln 2a t t =--在[)1+∞，上递增， ∴对任意一个()2,ln 22a ∈--,都存在唯一()1,2t ∈与之对应，反之亦然.设()u t =2211ln 124t t t t --++，()1,2t ∈u (t)t(lnt 1)10'=-++<()u t ∴在1,2（）上递减，(2)()(1)u u t u ∴<<， 即722ln 2()4u t -<<()g a ∴的取值范围为722ln 24-（，）.第4题（函数与求导题）解：（1）由已知()f x 的定义域为(0,)+∞，又1'()axf x x-=， 当0a ≤时，'()0f x >恒成立，10,'()0,()x f x f x a<<>单调递增； 当0a >时，10,'()0,()x f x f x a <<>单调递增；1,'()0,()x f x f x a><单调递减； （2）由题21()ln (1)2g x x ax a x =-++-，1'()1g x x a x =+--①当1a ≤时，'()10g x a ≥-≥，此时()g x 单调递增，最多存在一个零点，不符合题意②当1a >时，2(1)1'()x a x g x x-++=，令2()(1)1h x x a x =-++，此时(3)(1)0a a ∆=+->，令()0h x =两根分别为1212,()x x x x <，由121210,1x x a x x +=+>=，可以知道1201x x <<<10,()0,'()0,()x x h x g x g x <<>>单调递增；当12,()0,'()0,()x x x h x g x g x <<<<单调递减； 2,()0,'()0,()x x h x g x g x >>>单调递增；其中(1)0g =，1212()0,()0,()0a g x g x g e--><<， (2(1))0g a +>，因此有121(,1)a x e--∃∈使得1()0g x =，21x ∃=使得2()0g x =；3(1,2(1))x a ∃∈+使得3()0g x =综上：(1,)a ∈+∞ 注1：当01x <<时，211(1)22x -<，因此有11()ln ln 22g x x ax a x a <-++<++，令1ln 02x a ++=，解得12a x e --= 注2：当1x >时，22111()ln (1)222g x x ax a x x x a x =-++-+>-+，令21(1)02x a x -+=，解得2(1)x a =+第5题（函数与求导题）解：（1）1'()(21)f x a x x=-+，由题知'(1)3,(1)0f f ==，解得2,0a b == （2）令21()()['()3]2()ln [45]g x f x kx f x x x x kx x x=-⋅-=-+--+，1'()2(21)(85)g x x k x x=-+--，其中(1)0g =，又因()0g x ≤，则必有'(1)0g =，解得1k =当1k =时，(1)(41)'()x x g x x-+=，01,'()0,()x g x g x <<>单调递增；1,'()0,()x g x g x ><单调递减，()(1)0g x g ≤=，符合题意综上：1k =第6题（函数与求导题）【解析】(1)函数()f x的导函数1()f x x'=， 由12()()f x f x ''=1211x x -=-， 因为12x x ≠12=．= 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=+=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=，所以所以()g x 在[256,)+∞上单调递增， 故12()(256)88ln 2g x x g >=-， 即12()()88ln 2f x f x +>-． (2)令(||)a k m e-+=，2||1()1a n k+=+，则 ()||0f m km a a k k a -->+--≥， ()))0a f n kn a n k n k n --<---<≤ 所以，存在0(,)x m n ∈使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及(0,)k ∈+∞，直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点．由()f x kx a =+得ln x a k x-=．设ln ()x a h x x-=，则22ln 1()12()x a g x a h x x x --+--+'==，其中()ln 2g x x =-． 由(1)可知()(16)g x g ≥，又34ln 2a -≤，故()1(16)134ln 2g x a g a a --+--+=-++≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln 2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．第7题（函数与求导题）解：（1）若f （0）≤1，即：a 2+|a|﹣a （a ﹣1）≤1．可得|a|+a ﹣1≤0，当a≥0时，a ，可得a ∈[0，]．当a ＜0时，|a|+a ﹣1≤0，恒成立．综上a ．∴a 的取值范围：； （2）函数 f （x ）==，当x ＜a 时，函数f （x ）的对称轴为：x==a+＞a ， y=f （x ）在（﹣∞，a ）时是减函数，当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x==a﹣＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，（3）F（x）=f（x）+=，，当x＜a时，=，所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=∴，所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．F（a）=a﹣a2+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+，F′（a）=1﹣2a==．所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，所以F（a）＜，即F（a）＜0，当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．第8题（函数与求导题）−a(2x+1)，解：(1)函数f(x)=2x+lnx−a(x2+x)的导数为f′(x)=2+1x可得函数f(x)在x=1处的切线斜率为3−3a，由切线与直线y=−3x平行，可得3−3a=−3，解得a=2；(2)存在x ∈(0,+∞)，使得不等式f(x)≥0成立，即为a ≤2x+lnx x 2+x 的最大值， 令m(x)=2x+lnx x 2+x ，(x >0)，m′(x)=(2x+1)(1−x−lnx)(x 2+x)2，由1−x −lnx =0，即x +lnx =1，由于x +lnx −1的导数为1+1x >0，即x +ln −1在x >0递增，且x =1时，x +lnx −1=0，则x =1为m(x)的极值点，当x >1时，m(x)递减，当0<x <1时，m(x)递增，则x =1时，m(x)取得极大值，且为最大值1，则a ≤1；(3)当a =0时，设函数p(x)=2x +1−f(x)=1−lnx ，q(x)=x 3−mx +e ，则当1−lnx ≥x 3−mx +e ，h(x)=1−lnx ；当1−lnx <x 3−mx +e ，h(x)=x 3−mx +e ．①当x ∈(0,e)时，p(x)>0，依题意，h(x)≥p(x)>0，h(x)无零点；②当x =e 时，p(e)=0，q(e)=e 3−me +e ，若q(e)=e 3−me +e ≤0，即m ≥e 2+1，则e 是h(x)的一个零点；若q(e)=e 3−me +e >0，即m <e 2+1，则e 不是h(x)的零点；③当x ∈(e,+∞)时，p(x)<0，所以此时只需考虑函数q(x)在(e,+∞)上零点的情况．因为 3e^{2}-m'/>，所以 当m ≤3e 2时，0'/>，q(x)在(e,+∞)上单调递增． 又q(e)=e 3−me +e ，所以(i)当m ≤e 2+1时，q(e)≥0，q(x)在(e,+∞)上无零点；(ii)3e 2≥m >e 2+1时，q(e)<0，又q(2e)=8e 3−2me +e ≥6e 3−e >0，所以此时q(x)在(e,+∞)上恰有一个零点；当m >3e 2时，令，得x =±√m 3． 由，得e <x <√m 3； 由 0'/>，得x >√m 3． 所以q(x)在(e,√m 3)上单调递减，在(√m 3,+∞)上单调递增． 因为q(e)=e 3−me +e <e 3−3e 3+e <0，q(m)=m 3−m 2+e >m 2−m 2+e =e >0，所以此时q(x)在(e,+∞)上恰有一个零点；综上，m <e 2+1时，h(x)没有零点；m =e 2+1时，h(x)有一个零点；m >e 2+1时，h(x)有两个零点．第9题（函数与求导题）【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-． （i ）若2≤a ，则()0'≤f x ，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减．（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =．当2()2a a x+∈+∞时，()0f x '<； 当(,22a a x+∈时，()0f x '>．所以()fx 在(0,2a，(,)2++∞a 单调递减，在(22a a -+单调递增． (2)由(1)知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<． 设函数1()2ln g x x x x=-+，由(1)知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <．所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--．第10题（函数与求导题）【解析】(1)当1=a 时，()1≥f x 等价于2(1)e10-+-≤x x ． 设函数2()(1)1-=+-x g x x e ，则22()(21)(1)--=--+=--x x g'x x x e x e ． 当1≠x 时，()0<g'x ，所以()g x 在(0,)+∞单调递减．而(0)0=g ，故当0≥x 时，()0≤g x ，即()1≥f x ．(2)设函数2()1e -=-xh x ax ． ()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点． （i ）当0≤a 时，()0>h x ，()h x 没有零点；（ii ）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-．当(0,2)∈x 时，()0<h'x ；当(2,)∈+∞x 时，()0>h'x ．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1e=-a h 是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0>h ，即2e 4<a ，()h x 在(0,)+∞没有零点； ②若(2)0=h ，即2e 4=a ，()h x 在(0,)+∞只有一个零点； ③若(2)0<h ，即2e 4>a ，由于(0)1=h ，所以()h x 在(0,2)有一个零点， 由(1)知，当0>x 时，2e >x x ， 所以33342241616161(4)11110e (e )(2)=-=->-=->a a a a a h a a a． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e 4=a ．。