概率论与数理统计期中考试试题1一．选择题（每题4分，共20分）1.设,,A B C 为三个随机事件，,,A B C 中至少有一个发生，正确的表示是（ ） A. ABC B. ABC C. AB C D. A B C2.一个袋子中有5个红球，3个白球，2个黑球，现任取三个球恰为一红，一白，一黑的概率为 ( ) A.12 B. 14 C. 13 D. 153.设,A B 为随机事件，()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===，则()P AB =（ ）A ．0.7 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.44. 一总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为2的泊松分布，则某一分钟恰有4次呼唤的概率为（ ）A.423e - B. 223e - C. 212e - D. 312e - 5.若连续性随机变量2(,)X N μσ，则X Z μσ-= （ ）A ．2(,)ZN μσ B. 2(0,)Z N σ C. (0,1)ZN D. (1,0)Z N二. 填空题（每题4分，共20分）6. 已知1()2P A =，且,A B 互不相容，则()P AB =7. 老今年年初买了一份为期一年的保险，保险公司赔付情况如下：若投保人在投保后一年因意外死亡，则公司赔付30万元；若投保人因其他原因死亡，则公司赔付10万元；若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。

若投保人在一年因意外死亡的概率为0.0002，因其他原因死亡的概率为0.0050，则保险公司赔付金额为0元的概率为 8. 设连续性随机变量X 具有分布函数0,1()ln ,11,x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩则概率密度函数()f x = 9. 设连续型随机变量2(3,2)XN ，则{}2<5P X ≤=(注: (1)=0.8413,(0.5)=0.6915φφ)10. 设离散型随机变量X 的分布律为10120.20.30.10.4X-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2(1)Y X =-的分布律为三．解答题（每题8分，共48分）11. 将9名新生随机地平均分配到两个班级中去，这9名新生中有3名是优秀生。

求 （1）每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？ （2）3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少？12. 甲乙两人独立地射击同一目标，击中目标的概率分别为0.6，0.7，求下列各事件的概率：（1）两人都击中目标， （2）目标被击中， （3）恰有一人击中。

13. 将一枚硬币连掷三次，随机变量X 表示“三次中正面出现的次数”，求 （1）X 的分布律及分布函数 （2）{}{}5.5,13P X P X ≥<≤14. 设连续型随机变量X 的概率密度为,01()2,120,kx x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他（1）求常数k （2）求分布函数()F x （3）求32P X ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭15. 设随机变量X 在[]2,5上服从均匀分布，现对X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。

16. 设二维随机变量(),X Y 的联合概率密度函数为,0(,)0,y e x yf x y -⎧<<=⎨⎩其他（1） 分别求,X Y 的边缘密度函数(),()X Y f x f y ； （2） 判断,X Y 是否独立。

四．应用题（每题12分，共12分）17. 病树的主人外出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率为0.8。

若浇水则树死去的概率为0.15。

有0.9的把握确定邻居会记得浇水。

(1)求主人回来树还活着的概率； （2）若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率。

参考答案1. D2.B3.A4.B5.C6. 127. 0.99488. 1,1()0,x e f x x ⎧≤<⎪=⎨⎪⎩其他9. 0.532810. 0140.10.70.2Y⎛⎫ ⎪⎝⎭11.解：记A : 每个班级各分配到一名优秀生B : 2名优秀生分配在同一个班级 因此（1） 2226423339633!9()28C C C P A C C C ==， …………………………………………..4分 （2） 22264233396339()56C C C P B C C C ==. …………………………………………..8分12. 解：记A ：甲击中，B ：乙击中。

（1）()()()0.60.70.42P AB P A P B ==⨯= ………………………………..2分 （2）()()()()0.60.70.420.88P A B P A P B P AB =+-=+-= ………..5分 （3）()()()()0.60.30.40.700.46P ABAB P AB P AB P AABB =+-=⨯+⨯-=………………8分 13. 解：{},,,,,,,S HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT =因此X 的分布律为012313318888X⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

…………………………2分 当0x <时，{}()0F x P X x =≤=当01x ≤<时{}{}1()08F x P X x P X =≤=== ……………………………3分当12x ≤<时{}{}{}1()012F x P X x P X P X =≤==+== …………………………4分当23x ≤<时{}{}{}{}7()0128F x P X x P X P X P X =≤==+=+== …………….5分.当3x ≥时{}{}{}{}{}()01231F x P X x P X P X P X P X =≤==+=+=+== …….6分 即0,01,0181(),1227,2381,3x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩（2）{}{}{}{}{}5.51 5.51 5.5 5.51(5.5) 5.50P X P X P X P X F P X ≥=-<=-≤+==-+== (7)分{}113(3)(1)2P X F F <≤=-=…………… 8分 14. 解：（1）因为()120111()2122f x dx kxdx x dx k +∞-∞=+-=+=⎰⎰⎰， ………………2分故 1k = …………… 3分（2）当0x <时()()0xF x f t dt -∞==⎰……………………………. 4分当01x ≤<时2001()()()()2xx x F x f t dt f t dt f t dt tdt x -∞-∞==+==⎰⎰⎰⎰ (5)分当12x ≤<时()011201011()()()()()2212xxxF x f t dt f t dt f t dt f t dt tdt t dt x x -∞-∞==++=+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ……………… 6分当2x ≥时12012()()()()()()1xxF x f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt -∞-∞==+++=⎰⎰⎰⎰⎰ ……7分即220,01,012()121,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪--≤<⎪⎪≥⎩（3）333197()21222248P X F ⎧⎫≤==⨯-⨯-=⎨⎬⎩⎭ ……………………………8分 15. 解：X 的概率密度为1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他………………………2分 记A :“对X 的观测值大于3”，即{}3A X =>，故{}5312()333P A P X dx =>==⎰……………….4分 记B ：3次独立观测中观测值大于3的次数，则2(3,)3B b ， ………………….5分故{}{}23233321220(2)2=333327P B P B P B C C ⎛⎫⎛⎫≥==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……………8分 16. 解：（1）当0x >时 ()(,)y x X xf x f x y dy e dy e +∞+∞---∞===⎰⎰， ……………2分即 ,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ ………………………3分同理 ,0()0,0y Y ye y f y y -⎧>=⎨≤⎩ ……………………….6分（2） 因为()()()(,)x y y X Y f x f y ye e f x y -+-=≠= ………………………………… 8分故X 与Y 不独立。

17.解：记A ：树还活着；B ：邻居记得给树浇水。

…………………………………..1分则由题意可得()0.9,()0.1,(|)0.15,(|)0.8P B P B P A B P A B ==== …………………..3分（1）()(|)()(|)()0.785P A P A B P B P A B P B =+= …………………………7分 (2) ()(|)()(|)0.3721()()P AB P A B P B P B A P A P A ==- ………………………12分。