2
3 2
m 2 N
多光束干涉暗纹：
m d sin N (m 1,2,… N 1)
三、课堂练习题
11.在单缝的夫琅和费衍射实验中，若入射光中有两种波 长的光， 1 =400nm ， 2 =760nm ，已知单缝的宽度 a=0.01cm，透镜焦距f=50cm。求: 1）这两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。 2）若用光栅常数 d=1.0× 10-4cm的光栅替换单缝，其他 条件同上问，求这两种光第1级主极大之间的距离。
c)
d)
2）在图上以λ /d（或λ /a）为单位标出横坐标的分度值。
d
a 2 3 4 d d d
a)
b)
a
2 a
d 多光束干涉主极大： d sin k 干涉明纹缺级级次：k k m a (m 1,2,… N 1) 多光束干涉 暗纹： d sin
单缝衍射暗纹位置： a sin k ，k 1,2,3,
N
2）在图上以λ /d（或λ /a）为单位标出横坐标的分度值。
d
2 3 4d 4d 4d
2 d
3 d
a 4 d
2 3d 3d d
2 d
a 3 d
c)
d)
d 多光束干涉主极大： d sin k 干涉明纹缺级级次：k k m a (m 1,2,… N 1) 多光束干涉 暗纹： d sin
单缝衍射暗纹位置： a sin k ，k 1,2,3,
N
3）画出（c）图中0级与1级主极大间各暗纹对应的振幅矢量图。
对四缝衍射，零级主极大与一级主极大之间有三个极 小。其振幅矢量如图所示。

4

2 4 2

4
1
3
1
3 1
3
2





两个第一级明纹中心的间距为
3 x x2 x1 f (tg 2 tg1 ) f (2 1 ) 2.7 103 m 2a
2)用光栅替换单缝，由光栅公式，两种波长的光所对应 的第一级主极大满足光栅方程
d sin1 k1 d sin 2 k2
a 衍射角θ都很小，所有条纹几乎都与零条纹集中在一起
由 sin k

可知，当 a 时，各级衍射条纹的
无法分辨。当 a是 的几万倍以上，光就显出直线传 播，屏上现出单缝透过透镜形成的实象，这属于几何 光学范畴，故几何光学是波动光学在 0 的极限 a 情形。
a 衍射角θ都很小，所有条纹几乎都与零条纹集中在一起
1
（第一级明纹取k=1）
31 6 sin 1 1000 2a
若这两种波长的光在屏上的第一级明纹中心分别出现 在x1和x2处，那么
x1 tg 1 f
由于1和2很小，则有
31 tan 1 sin1 2a
x2 tg 2 f x sin tg f 32 tan 2 sin 2 2a
a sin k ，k 1,2,3,
d k d 时, ，出现缺级, k k a k a d 2.4m d 2.4 a k k k 1 a 0.8m k 3
解:1)由单缝衍射的明纹公式知
31 a sin 1 ( 2k 1) 2 2 3 2 a sin 2 ( 2k 1) 2 2
1
2
（第一级明纹取k=1）
31 a sin 1 ( 2k 1) 2 2 2 3 2 a sin 2 ( 2k 1) 2 2
2）d不变，a增大。
S
.
f1
L1 L2 S1
.
3）双缝在其所在平面内 沿与缝长垂直方向平移。
S2 f2
双缝干涉明纹： d sin k , k 0,1,2,… 单缝衍射暗纹位置： a sin k ，k 1,2,3,
条纹间距 D x d
1）d增大，则Δx减小，主极大条纹变密； a不变，则衍射包迹不变。 衍射中央极大包迹下，主极大个数增多，缺极向高 级次移动。 2）d不变，则主极大条纹间距不变， a增大，则衍射中央极大包迹变窄； 缺极向低级次移动。 3）d，a不变，只要双缝未移出透镜线度范围，则衍射 花样不变。 因为是远场衍射，衍射角相同的光线汇聚于观察屏上 同一点。
a)
b)
1）各图表示几缝衍射的图样，并说明理由。
（a）在两个主极大之间有一个极小， 多光束干涉暗纹： m 这是双缝衍射。 d sin N （b）这是单缝衍射。 (m 1,2,… N 1) （c）在两个主极大之间有三个极小， 并有二个次极大，这是四缝衍射。 （d）在两个主极大之间有二个极小， 有一个次极大，这是三缝衍射。
a sin k，k 1,2,3…
中央明纹中心
中央明纹角宽度
a sin ( 2k 1) ， k 1,2,3… 2 近似公式 a sin 0

由1级暗纹中心确定 0 2 1 2
a
次级明纹角宽度 由相邻暗纹中心确定
a
次级明纹线宽度 1 x f x 0 a 2
解：1）光栅常数a+b； 由光栅方程得： d sin k 2
2 2 600nm d 2.4m 0 sin sin 30
12.用波长为 600nm的平行光垂直照射在光栅上，测得 第2级主极大的衍射角为30°，且第3级缺级，求： 2）光栅透光缝的可能宽度和最小宽度；
解：多光束干涉主极大： d sin k，k 0,1,2, 单缝衍射极小：
主极大缺级级次 主极大间距
d k k a
k
I
I0
N=4

sin
-(/d) 0 -(/4d) /4d /d
暗纹(极小)间距 hw
d cos Nd cos
即，谱线的半角宽度
相邻主极大间 有N－1个极小 和 N－2个次极大。
4. X射线衍射 散射光干涉加强条件： 2d sin k ( k 1,2,) ——布拉格公式
2）圆孔衍射 一级暗纹中心
D sin 1 1.22
瑞利判据:对于两个等光强的非相干物点 ,若其中 一个象斑的中心恰好落在另一象斑的边缘 ( 第一 暗纹处)，则此两物点被认为是刚刚可以分辨。
最小分辨角
1 1.22
D
分辨本领
D R 1.22 1
D R
单缝衍射第一级衍射 明纹中心之间的距离
x tg f
x x2 x1 f (tg 2 tg 1 ) 0.37m
x 2.7 103 m
12.用波长为600nm的平行光垂直照射在光栅上， 测得第 2级主极大的衍射角为 30°，且第 3 级缺 级，求： 1）光栅常数a+b； 2）光栅透光缝的可能宽度和最小宽度； 3）若取最小宽度，写出实际呈现的全部级次；
双缝干涉条纹明暗条件是用两束光的光程差来表示： 暗纹 d sin ( 2k 1)

明纹 d sin k k 0,1,2… 相长干涉 单缝衍射是考虑N个波带(子波)间的干涉， 其明、暗条纹是由单缝边缘光线的总光程差(N个波 带的间的光程差之和)决定：
2
k 0,1,2… 相消干涉
1 2
（取k=1）
1=400nm，2=760nm，
sin1
sin1 sin 2
1
d
0.4
不小
a =0 . 01cm ， f =50cm ， d=1.0×10-4cm
1
2
d
d
0.4 0.76
1 23.6 2 49.5
tg 1 0.44 tg 2 1.17
2.夫琅禾费衍射的特点是什么？实验装置如何？ 双缝干涉明纹条件 d sin k 与单缝衍射暗纹 条件 a sin k 的形式相似，但分别代表明纹 和暗纹的中心，为什么？
2.夫琅禾费衍射的特点是什么？实验装置如何？ 双缝干涉明纹条件 d sin k 与单缝衍射暗纹 条件 a sin k 的形式相似，但分别代表明纹 和暗纹的中心，为什么？
特点： 光源与衍射ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ无限远； 观察屏与衍射屏无限远； 衍射图样与观察屏的远 近无关； 衍射角相同的光线汇聚 于观察屏上同一点。
L1
S
L2
E
实验装置： S位于L1的焦点处 E位于L2的焦平面处
双缝干涉的明纹条件： d sin k 单缝衍涉的暗条件： a sin k 形式相同，但一暗一明，为什么？

1 ，这是不可能的，所以连第一级暗纹也不
0 当 时，
0
a
I
sin
a sin
屏幕是一片亮。

sin I I0
2
缝相对于波长越窄时，光的衍射现象越明显。
0 当 时， a
0
暗纹中心： a sin k
只显出单一的明条纹 单缝的几何光学像 缝相对于波长很宽时，光遵循直线传播规律。
a sin k，k 1,2,3… a sin ( 2k 1) ， k 1,2,3… 近似 明纹 2 中央明纹 0
暗纹
3.为什么用单色光做单缝衍射实验时，当缝的宽度a比 光的波长λ 大很多(a>>λ)或比波长λ小(a<λ)时都观察不 到衍射条纹？试求缝宽分别为0.5个波长、1个波长、5 个波长、100个波长情况下，中央明纹的半角宽度。
晶面
d A dsin d
B C
1 2


d