2020年重庆一中高2021级高二下期期末考试数学测试试题卷注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、选择题（每小题5分，共60分，其中第11题为多选，选错或者漏选不得分，其他题目为单选.） 1. 集合{}2,1,2,3A =-的真子集个数为（ ） A. 16B. 15C. 14D. 132. 已知复数12iz i-=（其中i 是虛数单位），则z =（ ）A.B.C. 1D. 23. 已知函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数()()()21ln 1f x g x x -=-的定义域是（ ）A. []0,1B. [)0,1C. (]0,1D. ()0,14. 如果函数()0,1xy aa a =>≠是增函数，那么函数()log 1a y x =-+的图象大致是（ ）A. B.C. D.5. 某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程为 6.517.5y x =+，则t 的值为（ ） A. 40B. 50C. 60D. 706. 《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈宽，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A.2329B.2129C.1112D.12137. 使得()3nx n N+⎛+∈ ⎝的展开式中含常数项的最小的n 为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 78. 某单位晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三个，节目乙和节目丙相邻，该晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 243π+B.43π C. 223π+D.53π10. 若x ，y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为()1,3，则a 的取值范围为（ ） A. ()1,1-B. [)0,1C. ()(),11,-∞-+∞D. (]1,0-11.（多选）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()232f x x x =---，以下命题错误．．的是（ ） A. 当0x >时，()232f x x x =++B. 函数()f x 有4个零点C. ()10f x ->的解集为()()()1,01,23,-+∞D. ()f x 的单调减区间是33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12. 已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在区间[]200,200-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭B. 1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦C. 13ln 6,ln 234⎛⎫--⎪⎝⎭ D. 13ln 6,ln 234⎛⎤-- ⎥⎝⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知()22log f x x =，则()2f =______.14. 若随机变量15,3B ξ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则(32)D ξ+=______.15. 函数()()()()3141log 1a a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，若12,x x R ∀∈，12x x ≠，有()()12f x f x ≠，则实数a 的取值范围是______.16. 设x ，y 为正实数，若2241x y xy ++=，则266x yxy++的最大值是______.三、解答题（本大题共6个小题，其中第17小题10分，其余每个小题12分，共70分.） 17. 已知集合(){}2|lg 12A x y x x ==--+，614B xx ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}|6C x x a =-≤. （1）求AB ；（2）若“x C ∈”是“x AB ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18. 已知函数()()2log 21x f x kx =+-的图象过点252,log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）不等式()102f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）函数()()12241f x xx h x m +=+⋅-，[]20,log 3x ∈，若实数0m <，求()h x 的最小值.19. 如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=︒，BE BC =，F 为CE 的中点.（1）求证：平面BDF ⊥平面ACE ；（2）若22BE AE ==，在线段AE 上找一点P ，使得直线BF 与平面PBD 所成角的正弦值为13，求PE 的长.20. 为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示如图：（1）判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记ξ为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望()E ξ.附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.21. 点(),P x y 与定点)F的距离和它到直线x =2，设点P 的轨迹为曲线E .直线l 与抛物线22x y =交于A ，B 两点，与曲线E 交于C ，D 两点，设直线OA ，OB ，OC ，OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，若OA OB ⊥. （1）求曲线E 的方程；（2）是否存在常数λ，满足()1234k k k k λ+=+？若存在，求出λ；若不存在，说明理由. 22. 已知函数()21ln 22f x x a x ax ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数1x ，2x ，使得()()123f x f x +=-，证明：122x x +>.参考答案一、选择题 1-5：BADCC 6-10：BBADA11. ABD 12. D二、填空题13. 16 14. 10 15. 11,73a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭16. 三、解答题17. 解：（1）{}{}2|120|43A x x x x x =--+>=-<<，{}|42B x x =-<≤，∴{}|42AB x x =-<≤.（2）∵“x C ∈”是“x AB ∈”的必要不充分条件，∴()A B C ，∴42a b a b -≤-⎧⎨+≥⎩，解得42a -≤≤，{}|C x a b x a b =-≤≤+，∴[]4,2a ∈-.18. 解：（1）∵()()2log 21x f x kx =+-的图像过点252,log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴()2225log 212log 2k +-=，∴12k =， ∴()()21log 212x f x x =+-. ∴()0g x >恒成立即()2log 210x a +->恒成立. 令()()2log 21x u x =+，则命题等价于()min a u x <，而()u x 在R 上单增.∴()0u x >，∴0a ≤. （2）()()222x x h x m =⋅+，令2x t =，∵[]20,log 3x ∈，∴[]1,3t ∈，∴()2y h x mt t ==+，[]1,3t ∈， ①当122t m =->，即104m -<<时， ()min 11y y m ==+；②当122t m =-≤，即14m ≤-时， ()min 393y y m ==+，综上：min11,04193,4m m y m m ⎧+-<<⎪⎪=⎨⎪+≤-⎪⎩. 19. 证明：（1）∵面ABCD ⊥面ABE ，BC AB ⊥，面ABCD 面ABE AB =，BC ⊂面ABCD ，∴BC ⊥面ABE ，∴BC AE ⊥. 又∵AE BE ⊥，BC BE B =，BC ⊂面BCE ，BE ⊂面BCE ，∴AE ⊥面BCE .∴AE BF ⊥，又∵BE BC =，F 为EC 中点，∴BF CE ⊥，AE CE E =，∴BF ⊥面ACE .又∵BF ⊂面BDF ，∴面BDF ⊥面ACE .（2）以E 为坐标原点，EB 为x 轴，EA 为y 轴如图建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()0,1,2D ，()2,0,2C ，()1,0,1F ，设()0,,0P a ，∴()2,1,2BD =-，()1,0,1BF =-，()2,,0PB a =-， 设面BDP 的法向量(),,n x y z =，由n BD ⊥，n PB ⊥， 得：22020x y z x ay -++=⎧⎨-=⎩，令2y =，则x a =，1z a =-，∴(),2,1n a a =-.sin cos ,BF n BF n BF nθ⋅==13==，∴12a =， 即12PE =.20.（1）22120(42183030)0.208 3.84172487248K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯， ∴没有95%的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关.（2）设参加座谈会中喜欢中国古典文学的人数为m ，女生为n ，则m n ξ=+，2,3,4ξ=，()()121122212243121,13C C C C P Pm n C C ξ⋅======⋅，()()()32,11,2P P m n P m n ξ====+==11122222324312C C C C C C +==⋅， ()()12223243142,26C C P P m n C C ξ⋅======⋅，∴ξ的分布列为∴()2343266E ξ=⨯+⨯+⨯=. 21. 解：（1）由题意知：2=，化简得： E ：22142x y +=. （2）由题知：l 的斜率存在且不过原点，设l ：()0y kx b b =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ， 由：22y kx bx y=+⎧⎨=⎩，得2220x kx b --=，∴122x x k +=，122x x b =-，∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，∴()21212121204x x x x y y x x +=+=，∴2b =，则122x x k +=，124x x ⋅=，∴121212121222y y kx kx k k x x x x +++=+=+()121222x x k k x x +=+=， 设()33,C x y ，()44,D x y ，由222142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2212840k xkx +++=，∴342812k x x k -+=+，342412x x k ⋅=+，∴334434343422y kx y kx k k x x x x +++=+=+()3434222x x k k x x +=+=-，∴()123412k k k k +=-+， 即存在常数12λ=-满足题意.22. 解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()12111'21x a x f x a x x x---⎡⎤⎣⎦=+-=， 当12a ≤时，()f x 在()0,1上单增，在()1,+∞上单减. 当112a <<时，()f x 在()0,1和1,21a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单增，在11,21a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单减， 当1a =时，()f x 在()0,+∞上单增. 当1a >时，()f x 在10,21a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭和()1,+∞上单增，在1,121a ⎛⎫⎪-⎝⎭上单减. （2）()f x 在定义域内是增函数，由（1）可知1a =.()21ln 22f x x x x =+-，设12x x <， 又∵()312f =-，∴()()()12321f x f x f +=-=，则1201x x <<<，设()()()23g x f x f x =-++，()0,1x ∈，则()()()()()321''2'02x g x f x f x x x -=--+=>-对()0,1x ∀∈成立.∴()g x 在()0,1上是增函数.∴()0,1x ∀∈，有()()()12130g x g f <=+=，()0,1x ∀∈，有()()230f x f x -++<，∵101x <<，∴()()11230f x f x -++<，即：()()212f x f x >-，又∵()f x 在()0,+∞单增， ∴212x x >-，而122x x +>.。