T 设行矩阵 X ( x , x , , x ) ，满足 XX 1，E是n阶 练习 1 2 n
单位矩阵，设 H E 2 X T X，证明：H是对称矩阵，且 HH T E。
证明：H T ( E 2 X T X )T E T 2( X T X )T E 2 X T X H
第四节
转置矩阵与一些重要方阵
一、转置矩阵
设A是一个m n矩阵，将A的行顺次改成列，得到 的n m 矩阵，称为A的转置矩阵， 记为AT 或A。
a1n a11 a 21 a m 1 a a 22 a 2 n a a 22 m2 , 则AT 12 . a m 2 a mn a1n a 2 n a mn 1 4 9 1 2 2 T T , A 2 5 . B 9 6 , B . 例如 A 4 5 8 6 2 8 a12 a11 a 若A 21 a m 1
显然，数量矩阵B E。
对角矩阵具有如下性质 ：
(1) 若A, B都是n阶对角矩阵，则A B, A(是一个数), AB 都是对角矩阵。
a1 AB
BA
a2
b1 an
b2
a1b1 bn
2
n
显然，A是对称矩阵，即 AT A。 特别地，当1 2 n 时，称为数量(数乘)矩阵。
0 0 0 0 B 0 0
故 C为反对称矩阵。 A AT A AT B C , 由A 2 2 2 2 B C 因此命题成立。 且 ， 分别是对称和反对称矩 阵， 2 2
3. 对角矩阵 主对角线以外的元素全为0的n阶方阵，称为对角矩阵。
1 0 A 0 0
2
0
0 1 0 n
因此 H是对称矩阵。
2 T 2 H (E 2X X ) HH E 2 4 X T X 4( X T X )2
T
E 4 X T X 4( X T X )( X T X ) E 4 X T X 4 X T ( XX T ) X
E 4X T X 4X T X
(3) A, B都是n阶正交矩阵 AB, BA也都是正交矩阵。
( AB )T ( AB ) ( BT AT )( AB) BT ( AT A)B B T EB 证明： ( AB)( AB)T E , 故AB是正交矩阵。 B T B E , 同理，
此结论可进行推广： A1 , A2 ,, Ak都是n阶正交矩阵 A1 A2 Ak也是正交矩阵。
1, i j aki akj k 1 0, i j
n
(i , j 1,2,, n)
(b)
即正交矩阵每一列的 n个元素的平方和等于 1，而两个不同 列的对应元素乘积之和 等于0。
下面证明充要条件 (a )，即 证明：
1, i j aik a jk k 1 0, i j
接下来证明， ( AB)T 和BT AT 相同位置上的元素分别 相等。
( AB)T 的i行j列元素 AB的j行i列元素
b1i b2 i ( A的j行)(B的i列) (a j 1 , a j 2 , , a jn ) b ni
如果用aij和bij分别表示A和AT 在第i行第j列的元素，则有 aij b ji
运算性质
(1) ( A ) A
T T T
(2) ( A B)T AT BT
T
(3) (A) A (为实数) (5) 若A可逆，则( A ) ( A )
T 1 1 T
(4) ( AB)T BT AT (6) E T E
证明：AAT为对称矩阵且AAT 0.
T T T T T 故 AA 为对称矩阵. ( A ) A AA , 证明：( AA ) a11 a12 a13 a11 a 21 a 31 T 设 B AA a 21 a 22 a 23 a12 a 22 a 32 , a 31 a 32 a 33 a13 a 23 a 33
a
k 1
n
jk
bki
BT AT的i行j列元素 ( BT的i行)( AT的j列)
a j1 n a j2 n ( b1 i , b2 i , , bni ) bki a jk a jk bki , k 1 k 1 a ( i 1,2,, s; j 1,2,, m ) jn
0 1 0
0 0 1
利用矩阵乘法，很容易 得到 n 1, i j aik a jk k 1 0, i j
(i , j 1,2,, n)
同样地，利用AT A E，可以证明充要条件 (b)。
若A, B都是n阶的对称矩阵，是一个数，那么易知：
而AB一般不是对称矩阵， A B, A都是对称矩阵，
例如 1 1 1 1 2 3 1 0 1 2 1 1 。
例 设A (aij )3 是一个三阶实矩阵，且 A 0,
二、几个重要矩阵
1. 对称矩阵
若方阵A (aij )n满足AT A, 即aij a ji , 则称A是 对称矩阵。
例如
1 0 1 1 0 1 3 1 1 3 2 2 1 1 2 0
对称矩阵的特点：它的元素 以主对角线为对称轴对应相 等.
1
1 a2
1 an
A1主对角线上的元素是 A中对应元素的倒数。
4.正交矩阵
若n阶实矩阵A满足AT A AAT E，则称A为正交矩阵。
由定义可以直接得出下 面四个结论：
(1) A是正交矩阵 A可逆，且A1 AT。 (2) A是正交矩阵 A1 (即AT )也是正交矩阵。
n
(i , j 1,2,, n)
n阶实矩阵A是正交矩阵 AAT E，
a11 a 即 21 a n 1 a12 a 22 an2 a1 n a11 a a2n 12 a nn a1 n a 21 a 22 a2n a n1 1 0 an2 a nn 0
a 2 b2
a n bn
即，两个同阶的对角矩 阵是可交换的。
( 2) 对角矩阵A可逆的充要条件是， A主对角线上的元素都 不为0，且 A1也是对角矩阵，
a1 1 A a2
1 a1 an
下面证明性质 (4)， ( AB)T BT AT。
证明： 假设 A (aij )mn , B (bij )ns ,
由于AB是m s矩阵，因此( AB)T 是s m矩阵，
又由于BT 是s n矩阵，AT 是n m矩阵，
因此 BT AT 是s m矩阵, 也就是说， ( AB)T 和BT AT 是同型矩阵。
T T
令B的第i行第j列元素为bij，则有 bij ai1a j1 ai 2a j 2 ai 3a j 3 , (i , j 1,2,3)
特别地，B的主对角线上的元素 bii是实数的平方和 ,
即 bii ai21 ai22 ai23 0， ( i 1,2,3) 再由题设A 0知，A至少有一个元素 akl 0, 则bkk 0, 于是 B AAT 0。
但要注意：A, B都是n阶正交矩阵 A B是正交矩阵。
(4) A (aij )nn 是正交矩阵 下面两组等式其中之一 成立
1, i j aik a jk k 1 0, i j
n
(i , j 1,2,, n)
(a )
即正交矩阵每一行的 n个元素的平方和等于 1，而两个不同 行的对应元素乘积之和 等于0。
E
2. 反对称矩阵
若方阵A (aij )n满足AT A，即aij a ji，则称A是 反对称矩阵。
例如 0
1 4 3 1 0 2 0 4 2 0 1 3 0 1 0
反对称矩阵的特点：主对角线 上的元素全为0，其余元素以 主对角线为对称轴对应成相反 数。
若A, B都是n阶的反对称矩阵， 是一个数，那么易知： A B, A都是反对称矩阵， 而AB一般不是反对称矩阵。
例 任何一个n阶方阵A都可表示成对称矩阵和 反对称 矩阵之和。
证明： 设 B A AT ,
则BT ( A AT )T AT A B
故 B为对称矩阵。
设 C A AT , 则C T ( A AT )T AT A ( A AT ) C
因此( AB)T BT AT 成立。
下面证明性质 (5)： 若A可逆，则( AT )1 ( A1 )T 。
证明： AT ( A1 )T ( A1 A)T E T E
1 T T 1 T T E ( A ) A E ( AA ) 同样地，
因此( AT )1 ( A1 )T 。