1 1 0
0 0 0
,
得(*)的
唯
一
l 解l
1 3
3 0， 得2
31
l4 0
.....
9
四.解答题(12 2分)
x1 bx 2 2x3 1 1.设 方 程 组x1 (2b 1)x2 3x3 1
x1 bx 2 (b 3)x3 2b 1 试 问 ： （1)b取 什 么 值 时 ， 方 程 组 有唯 一 解 ，
1 0 1
AB
E
A2
B, 其 中A
0
2 0,求矩阵B.
1 0 1
解：由题意得：(E A)B E A2 ,因
0 0 1 | E A | 0 1 0 1 0, 故E A可逆,
10 0
2 0 1
B
(E
A)1(E
A2 )
E
A
0
3 0
..... 1 0 2
6
0
0
3.设 有 向量 组1
1 2
1,
2
3
6
3 ,
1
1
3
1 1
2
,
4
0 12
,
求 此 向 量 组 的 秩 和 一 个极 大 无 关 组 ， 并 将 其 余
向 量 由 该 极 大 无 关 组 线性 表 示 。
.....
7
0 0 1 1
解
：
由(1
,
2
,
3
)
1 1 2
3 3 6
1 2 1
0 1 2
1 3 1 0 1 3 1 0
X1＝－1 2
，X
2＝
2 0
，
正
交
rankA rankA 3，方程组有唯一解；
当b
1时 ，A
1 0
1 2
2 1
1 0 ,
0 0 0 4
rank A rankA, 方程组无解；
当b
1时
，A
1 0
1 0
2 1
1 1 0 0
1 0
2 1
1 0,
0 0 2 0 0 0 0 0
.....
11
rankA rank A 2 3, 方程组有无穷多解。
B ATA是 ____ .
(A)正定矩阵
(B)半正定矩阵
(C)负定矩阵
(D)不定矩阵
答：1.D;2.B;3.C;4.D;5.B
三.计算题(10 3分)
a1b1
1.计算行列式 1 a 1 b b1a1
1b1a
.....
5
答案：(a b 2)(a b 2)(a b)2
2.若A, B均为3阶矩阵, E为3阶单位阵, 且有:
..... 1
2 0 0
103
x1 x2 x3
,
1
的秩为 ____ .
a11 a12 a1n
5.三角 形矩 阵A
a21
a
2n
可
逆
，
则
ann
A1的 特 征 值 为_____________________ .
答案：1.4;2.0;3.
1;4.3;5.a111
,
a1 22
,
,
4x1x3
3x
2 2
ax2x3
3x
2 3
可
经
过
正
交
变
换X
QY化
为
标
准
形y
2 1
y
2 2
8y
2 3
,
试 求 正 交 矩 阵Q.
0
2
解
：
实
二
次
型f (
x1
.x
2
,
x
3
)的
矩
阵A
2
3
2 a
,
2
2
a 2
3
由 题 意, A相 似 于 对 角 矩 阵 1 1
,
.....
8
13
因1是A的二重特征值，故秩(E A) 1，由
2007线性代数期末考试题
一.填空题(3 5分)
1.设A为3阶方阵，A*是A的伴随矩阵, 若 (2A)* k A* ,则k _____.
2.设A是4 3矩阵，C AA T ,则 | C | ____ .
1 1 1 3.当 _____时，矩阵 1 2 2 1 不可逆.
2 1 1
1 4.二 次 型f (x1 , x2 , x3 ) (x1, x2 , x3 ) 0
4.以下说法中错误的是___ .
(D)k( )
( A)若n阶矩阵A的行列式等于0, 则0是A的特征值.
(B)若0是n阶矩阵A的特征值，则秩(0E A) n
(C)若
是
0
矩
阵A的
特
征
值
，
则20
1是 矩
阵A2
E
的特征值
(D)若n阶矩阵A有n个互不相同的特征向量, 则
A可对角化.
.....
4
5.设A为n阶实矩阵，A 0, A 0,则矩阵
0
0 0
0 0 0
1 1 1
1
1 2
0 0 0
0 0 0
1 0 0
101, 得
rank(1 , 2 , 3 , 4 ) 3, 1 , 3 , 4是 一 个 极 大 无 关 组.
.....
8
设2 l11 l33 l44 (*)
1 1 0 3
(*)的
增
广
矩
阵A
0 0 0
1 0 0
a1 nn
二.单项选择题(3 5分）
.....
2
1.向 量 组1, 2 ,, s (s 2)(I)线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是______. (A)(I)中 不 含 零 向 量 (B)(I)中 任 何s 1个 向 量 都 线 性 无 关 (C)(I)中 有 一 向 量 不 能 由 其 余向 量 线 性 表 示 (D)(I)中 任 何 向 量 都 不 能 由 其余 向 量 线 性 表 示
ax bx cx 2.若f (x) d x e x f x ,则f (x)是 __ 次
gx hx ix
多项式。
.....
3
(A)0 (B)1
(C)2
(D)3
3.设A为n阶方阵，秩A n 1, ,是AX ( 0)的
两不同的解，则AX 0的通解为 ____ .
(A)k (B)k (C)k( )
无 穷 多 解, 无 解;
(2)有 无 穷 多 解 时 ， 求 出 全部 解 并 用 向 量 表 示.
解 ： 方 程 组 的 增 广 矩 阵为 ：
A＝ 11 1
b 2b 1
b
2 3 b3
1 1 1 0 2b 1..... 0
b b1
0
2 1 b1
1 0 2b 210
当(b 1)(b 1) 0,即b 1时，
1
E A 2
2 4
2 a
知
当a
8时
，
秩(E
A)
1,
2
2
a 2
4
且 当a 8时 ， 8是A的特征值，故a 8.
对特征值1,
E
A
1 2
2 2 1 2 2 4 4 0 0 0 ,
2 4 4 0 0 0
求得(E A)X 0的基础解系：
.....
14
求特解：
由
x1 x3
x2 0
2x3
求导出组基础解系：
1得特解X0
1 0 0
1
由xx13
于是
x2 2x 0
原方
3
程
0得基
础解系
：X1＝
组通解为：
1 0
1
1
X X0 k X1 0 k 1
0 ..... 0
12
2.设实二次型
f
(x1 ,
x2
.x3
)
4x1x2