数学建模中的初等模型
T1 Ta Ta Tb Tb T2 Q1 k1 k2 k1 d l d
T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 T1 T2 T1 T2 Q1 k1 Q2 k1 d ( s 2) 2d
p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低!
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法
若 p1/n1> p2/n2 ,定义
p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2)
公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
双层与单层窗传导的热量之比
室 内 T1
2d
室 外 T2
Q2
墙
Q1 2 k1 l , sh , h Q2 s 2 k2 d
Q1 Q2
l d
当p1/n1= p2/n2 时,分配公平
若 p1/n1> p2/n2 ,对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
20席的分配 结果 10 6 4 10.3 6.3 3.4
21席的分配
人数 (%) 比例
总和 200
100.0
20.0
20
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 平 3.570 3 吗 21.000 21
“公平”分配方 衡量公平分配的数量指标 法 人数 席位
A方 B方 p1 p2 n1 n2
问题1:设A, B已分别有n1, n2 席,若增加1席,问应 分给A, 还是B? 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ,即对A不公平
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1)若 p1/(n1+1)> p2/n2 , 则这席应给 A
2)若 p1/(n1+1)< p2/n2 , 应计算rB(n1+1, n2) 3)若 p1/n1> p2/(n2+1), 应计算rA(n1, n2+1) 问: p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现? 否!
能不能找到一个分配方法既满足1)又满足2)呢?
实例二 双层玻璃窗的功效
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 题 玻璃窗相比,减少多少热量损失 假 设 T1,T2不变,热传导过程处于稳态
热量传播只有传导,没有对流 材料均匀,热传导系数为常数
室 内 T1
d
l
d
室 外 T2
Q1
墙 室 内 T1 室 外 T2
定义 Qi
2 pi
否则, 该席给B
ni (ni 1)
, i 1,2, 该席给Q值较大的一方
2 pi
推广到m方 分配席位
计算 Qi
ni (ni 1)
, i 1,2, , m
该席给Q值最大的一方
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
建 模 Q ~单位时间单位面积传导的热量
T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数
2d
热传导定律
T Qk d
Q2
墙
建模 记双层玻璃窗传导的热量Q1
Ta~内层玻璃的外侧温度
Tb~外层玻璃的内侧温度
k1~玻璃的热传导系数
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙
k2~空气的热传导系数
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A
rA, rB的定义
2 2 p2 p1 该席给A n2 (n2 1) n1(n1 1)
qi=Npi /P不全为整数时,ni 应满足的准则: 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整; [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时, ni不应减少 “比例加惯例”方法满足 1),但不满足 2) Q值方法满足 2), 但不满足 1)。令人遗憾!
实例一 公平的席位分配
问 题
三个系学生共200名(甲系100,乙系60,丙系40),代表 会议共20席,按比例分配,三个系分别为10,6,4席。 现因学生转系,三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席,又如何分配。
比 例 加 惯 例
系别 学生 比例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0
Q值方法 分配结果
Q1最大,第20席给甲系 Q3最大,第 21席给丙系
甲系11席,乙系6席,丙系4 席
公平吗?
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗?
席位分配的理想化准则
已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N), ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数,即ni = ni (N, p1, … , pm ) 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数,显然应 ni=qi
甲系:p1=103, n1=10 乙系:p2= 63, n2= 6 丙系:p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
1032 632 342 96.4, Q2 94.5, Q3 96.3 第20席 Q1 1011 67 3 4 1032 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 1112