初等模型
——贷款、税收等问题
一、房贷款
小李夫妇欲购一套价值10万元的房子，俩人现有积蓄4万元。
需向银行贷款6万元，准备25年还清，假定银行贷款利息为月息1%，每月还款数一定，一月还一次，问每月需还多少钱，给出一般数学模型。
1、重述问题（略） 2、符号及假设：
设总贷款额为M 元，n 个月还清，月息r ，每月还款额为定值x ，每月月底还钱。
3、模型的建立与求解：
第1月底还欠多少钱：()1M r x +-
第2月底还欠多少钱：()()()()2
1111M r x r x M r x r x +-+-=+-+-⎡⎤⎣⎦ 第3月底还欠多少钱：
()()()()()()232111111M r x r x r x M r x r x r x ⎡⎤+-+-+-=+-+-+-⎣⎦
… …
第n 月底还欠多少钱：
()()
()
()()
()1
2
11
11111n
n n n n
r M r x r x r x r x M r x
r
--+-+-+-+-
-+-=+-
由于n 个月还清，因此有()
()11
10n
n
r M r x
r
+-+-=
()()()11
11111n
n n
r x M r Mr r r ⎛⎫+∴=∙=+ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭
将M =60000元，n =25×12=300，r =0.001 代入得 x =232 (231.5970) 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.01 代入得 x =632 (631.9345) 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.02 代入得 x =1203 (1203.1643) 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.03 代入得 x =1800 (1800.2536)
前后一共交了多少钱
69479.1
189580.35
360949.29
540076.08 nx
⎧
⎪
⎪
=⎨
⎪
⎪⎩
其它不变，还款期限为10年
530.849563701.94
860.8257103299.08
1322.8858158746.30
1853.3951222407.41 x
→
⎧
⎪→
⎪
=⎨
→
⎪
⎪→
⎩
注：人民银行历次贷款利息调整对照表
1、建设银行“乐得家”个人住房贷款系列产品的贷款期限、贷款成数、利率
2、每万元借款还款对照表
3、示例说明
某客户购买面积为140平方米的商品住房，价格为2500元/平方米，需支付35万元。
如果他申请八成20年的商品住房个人贷款，则：
1、客户支付首期购房款：35×20%=7万元。
2、申请八成20年个人住房贷款：35×80%=28万元。
3、客户每月归还借款本息金额：28×66.22=1854.16元，即客户只需首期付款7万元，然后从借款的次月开始的二十年内，每月还款金额为1854.16元。
4、若客户在借款后的若干年内（如第五年）拟一次归还剩余的贷款本息，假设客户在前五年内每月按时支付1854.16元，已累计归还借款本金为46166.11元，累计归还利息65083.49元，该客户只需还剩余的借款本金为233833.89元，不再计息。
二、学费问题
某私立中学规定学生入学时应交费4万元，等三年后学生毕业时学校将把4万元如数归还。
试问在此规定下，学生念三年书实际交了多少学费？
考虑到个别学生交费4万元有困难，可以在入学时交给学校一万元，但毕业时不再归还，问学校的这一做法对学生是否公平？对学校自己是否划算？（银行存款利息三年期月息为9‰）
分析：假定这些钱收来后存入银行吃利息，不计税，到三年后，学校获得
①交4万元返还的：本利和为40000×（1+0.009×36）=52960
学生交了52960-40000=12960（元）
②交1万元不退的：
（1）三年后4万元现在值多少钱：
a（1+0.009×36）=40000,a=30211.48
所以学生实际应交：40000-30211.48=9788.52元
（2）1万元三年后本利和为10000×（1+0.009×36）=13240元
比较知学校用第二种方法合算，但学生不需要筹措一大笔（3万）资金；借钱不容易，贷款的话不仅需抵押，而且贷款利率是存款的2倍以上。
30000×（1+0.018×36）-30000=19440
三、小额贷款资助个体
某个体户一月初向银行贷款10万元作为开商店资金，每月底获得的利润是该月初投入资金的20%每月底需交房租和所得税为该月所得金额（含利润）的10%，每月生活费和其它开支3000元。
余额作为资金全部投入再营业。
如此继续下去，问到这一年年底，这位个体户有现款多少元？若银行贷款的年利率为7.5%，问这位个体户还清银行贷款后，纯收入有多少元？
分析：设第n个月底的余款为a n
a1=105×(1+20%)-105×(1+20%)×10%-3×103=1.05×105
a n+1=a n(1+20%)- a n×(1+20%)×10%-3×103=1.08 a n -3×103
如何导出递推公式？
a n+1-3.75×104=1.08(a n-3.75×104)
a n=1.08n-1(a1-3.75×104)+3.75×104=(6.75×1.08n-1+3.75) ×104将n=12代入a12=194885.63
欠银行105×(1+7.5%)=107500
四、怎样纳税合算
1、美国的商税收是世界出名的，以工薪阶层的所得税为例，以年收入17850美元为界，低于（含等于）这个数字的交纳15%的所得税，高于17850的交纳28%的所得税。
（1）年收入40000美元的公民交多少所得税？
（2）政府规定捐赠可以免税，即收入中捐赠部分在交税时予以扣除。
一位年收入20000美元的公民捐赠20200美元，问他的实际收入有没有因为捐赠而减少？
分析：（1）40000×20%=11200
（2）20000×（1-28%）=14400
（20000-2200）×（1-15%）=15130
2、我国（中国）个人收入调节税为
1500元及以下免征，超过部分征收比例随超过额的增加而分段增加。
不超过500为5%，超过500-2000为10%
超过2000-5000为15%，5000-20000为20%
20000-40000为25%，40000-60000为30%，
60000-80000为35%，80000-100000为40%，
大于100000为45%。