数学建模初等模型2
在任一方实施第一次核打击时,假定一枚核导弹只能 攻击对方的一个核导弹基地。
摧毁这个基地的可能性是常数,它由一方的攻击精 度和另一方的防御能力决定。
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图 y=f(x)~甲方有x枚导弹,乙方所需的最少导弹数. 的 x=g(y)~乙方有y枚导弹,甲方所需的最少导弹数. 模 当 x=0时 y=y0,y0~乙方的威慑值
Q k T1 T2
2
1 2d
Q1
k1
T1 T2 d (s 2)
内 T1
双层与单层窗传导的热量之比
4
室 外 2d T2
Q2
Q1 2 , s h k1 , h l
墙
Q2 s 2
k2
d Q Q
1
2
k1=410-3 ~8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 ~32
反 反应时间
应
距
刹离
车速
司机 制动系统 状况 灵活性
常数
车 距
制 制动器作用力、车重、车速、道路、气候…
离
动 距
最大制动力与车质量成正比,
常数
离 使汽车作匀减速运动。
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假设与建模
1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和
d d1 d2
2. 反应距离 d1与车速 v成正比 k1为反应时间
问 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要, 题 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
y
用x,y分别表示甲(乙)占有 yo•
X,Y的数量。设交换前甲占
有X的数量为x0, 乙占有Y的 数量为y0, 作图:
y
.p
0 若不考虑双方对X,Y的偏爱,则矩形内任一点
xp(x,y)•xo
x
都是一种交换方案:甲占有(x,y) ,乙占有(x0 -x, y0 -y)
汽车刹车距离
问 汽车行驶前方出现突发事件→紧急刹车; 题 车速越快,刹车距离越长;
刹车距离与车速之间是什么关系?(线性、…)
刹车距离:从司机决定刹车到车完全停止 这段时间内汽车行驶的距离。
27 实验数据:车速v (km/h)与刹车距离d (m)
用固定牌子的车,由同一司机驾驶,在不变的道路、 气候等条件下测得:
• 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导 弹等措施时,平衡状态会发生什么变化。
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模 以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。
型
假定双方采取如下同样的核威慑战略:
假
设 •1、 认为对方可能发起所谓第一次核打击,即倾其
全部核导弹攻击己方的核导弹基地;
• 2、乙方在经受第一次核打击后,应保存足够的核 导弹,给对方重要目标以毁灭性的打击。
k2 = 0.0853
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模型结果 模型 d k1v k2v2
用实验数据对k1 , k2 的拟合结果:k1=0.6522, k2=0.0853
y –(x–y)=2y– x个被攻击1次,s(2y– x )个未摧毁
y0= s2(x–y)+ s(2y– x )
y y0 1 s x s(2 s) 2 s
y0=s2y
y=y0/s2
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精细 模型
x=a y,
y
x<y, y= y0+(1-s)x
y<x<2y, y y0 1 s x s(2 s) 2 sx=yFra bibliotek y=y0/s
x=2y, y=y0/s2
y
y0 sa
y0 sx/ y
y0~威慑值
s~残存率
a~交换比(甲乙导弹数量比)
x=y
x=2y
y是一条上凸的曲线
y=f(x)
y0 0
y0变大,曲线上移、变陡
s变大,y减小,曲线变平
x
a变大,y增加,曲线变陡
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模型解释
•1、 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标
因此从生物学的角度可以假定,经过长期进化,对
于每种动物而言,b 已经达到其最合适的数值,换句话 说,b 应视为与这种l 动物的尺寸无关的常数。
l
10
由(2)式得
l3 d2
(3)
再从 f sl, s d 2 以(3)式代入得
f l4
(4)
即体重与躯干长度的4次方成正比。在根据统计数据 确定出上述比例系数后,就能从躯干长度估计出动物 的体重了。
1
第二章 初等模型
如果研究对象的机理比较简单,一般用静态、线性、 确定性模型描述就能达到建模目的时,基本上可以使 用初等数学的方法来构造和求解模型。
衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果,而不是 采用了多么高深的数学方法。
2
双层玻璃窗的功效 室
室
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 内
外
题 玻璃窗相比,减少多少热量损失 T1 d l d T2
问 在夏季商品交易会上,冰淇淋销售者要预测其冰淇淋的销 题 售量,而他认为该量与下列因素有关
人数,温度,价格
1)与来参加交易会的人数成正比 2)与超过 15°C的温度成正比 3)与所售的价格成反比
假设 符号:冰淇淋销售量Y,人数为n,温度为t,价格为p
模型建立
Y kn(t 15) p
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实物交换
乙方威慑值 y0变大 (其它因素不变) 乙安全线 y=f(x)上移
平衡点PP´
xm xm , ym ym
y
P(xm , ym )
y0 y=f(x)
0
x0
P(xm,ym) x=g(y)
x
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
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模型解释
• 2、甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架
型 y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹,乙方为毁灭
甲方工业、交通中心等目标所需导弹数.
y y y0 x
y 乙安全区
双方 安全区
y=f(x) 乙安全线
y1
y=f(x) P(xm,ym)甲 安
y0
x=g(y) 全
y0
区
0
x
y0 y f (x) y0 x
0
x0 x1
x
P~平衡点(双方最少导弹数)
x
x
• 互不相交
在p1点占有x少、y多, 宁愿以较多的 y换取
较少的 x;
在p2点占有y少、x多, 就要以较多的 x换取
较少的 y。
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乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同
y
性质(形状可以不同)
g(x,y)=c2 c2
双方的交换路径
甲的无差别曲线族 f=c1
O
x
两族曲线切点连线记作AB
设动物在自身体重 f 作用下躯干的最大下垂度为 b , 即梁的最大弯曲,根据对弹性梁的研究:
fl 3 b
sd 2
因为 f sl ,所以
(1)
b l3
l d2
(2)
9
b 是动物躯干的相对下垂度,b 太大,四肢将无法
l 支撑;
b
l 太小,四肢的材料和尺寸超过了支撑躯
l
干的需要,无疑是一种浪费。
比例关系 几何模拟 图形方法
参数识别 量纲分析
第二章 初等模型
2.1 冰淇淋销售量 2.2 公平的席位分配 2.3 划艇比赛成绩 2.4 圆盘切割 2.5 爬山问题 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.8 汽车刹车距离 2.9 录像机计数器的用途 2.10 量纲分析与无量纲化
2.1 冰淇淋的销售
交换路 径AB
AB与CD的 交点p
双方的无差别曲线族
等价交 换原则
X,Y用货币衡量其价值,设交换 前x0,y0价值相同,则等价交换原 则下交换路径为
(x0,0), (0,y0) 两点的连线CD
.y
yo D
p
0A
设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)
B
.C
xo x
乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标 x’ y
系x’O’y’, 且反向)
yo
O‘
双方满意的交换方案必 在AB(交换路径)上
因为在AB外的任一点p’, (双方)满意度低于AB上的点p
•p
B
•
A
P’ f=c1
O g=c2
xo x
y’
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交换方案的进一步确定
交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x,y)
0xx0, 0yy0矩 形内任一点
d1 k1v
3. 刹车使用最大制动力F,F F d2= m v2/2 F = ma 作功等于汽车动能的改变;
且F与车的质量m成正比
d k1v k2v2
d2 k2v2
k2 1 2a
参数估计 模型 d k1v k2v2
30 对k1 , k2 作拟合:
k1 = 0.6522
内
Ta Tb
室 外
Tb~外层玻璃的内侧温度
T1 d l d T2
k1~玻璃的热传导系数
Q1
k2~空气的热传导系数
墙
Q1
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
Tb l
k1
Tb
T2 d
Q1
k1
T1 T2 d (s 2)
,
s h k1 , k2
h l d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 室
乙安全线y=f(x)不变 y 甲方残存率变大
威慑值x 0和交换比不变
x减小,甲安全线
y0
x=g(y)向y轴靠近