2020北京平谷高三二模
数学
注意事项：
1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共6页，共150分，考试时间为120分钟.
2.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效.
3.考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好.
第I 卷选择题（共40分）
一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合{}1,0,1A =-，2
{1}B x x =< ，则A B =U （ ）
A. {}1,1-
B. {}1,0,1-
C. {}
11x x -≤≤
D. {}
1x x ≤
2.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A. sin(+
)2
π
α
B. s(+
)2
co π
α C. sin()πα+ D. s()co πα+
3.在下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）
A. ()f x =
B. ()f x ln x =
C. ()22x
x
f x -=+
D. ()f x xcosx =
4.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A. 21
B. 63
C. 13
D. 84
5.若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A. p ＜1
B. p ＞1
C. p ＜2
D. p ＞2
6.已知∈，x y R ，且0x y >>，
则（ ） A. 11
0x y
->
B. 0cosx cosy -<
C. 11022x
y
⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D. ()ln 0x y ->
7.某三棱锥三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A.
2
3
B. 43
C. 2
D.
8
3
8.设a b r r
，是向量，“a a b =+r r r ”是“0b =r ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
9.溶液酸碱度是通过pH 计算的，pH 的计算公式为pH lg H +⎡⎤=-⎣⎦，其中H +
⎡⎤⎣⎦表示溶液中氢离子的浓
度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为22.510-⨯摩尔/升，则胃酸的pH 是（ ）（参考数据：
20.3010lg ≈）
A. 1.398
B. 1.204
C. 1.602
D. 2.602
10.如图，
点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数x
y a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．
A. 1a b <<
B. 1b a <<
C. 1b a >>
D. 1a b >>
第II 卷非选择题（共110分）
二、填空题共5题，每题5分，共25分.
11.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B 对应的复数分别是12,z z ，则
2
1
z z =
的
_______.
12.在ABC ∆中，4
A π
∠=
，222a b c ab +-=，3c =，则C ∠=__________ ；a =____________.
13.如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点. 当点P 在BC 边上时，AB OP ⋅u u u v u u u v
的值为________；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅u u u v u u u v
的最小值为_________.
14.已知函数()1
f x cosx x
=
+，给出下列结论： ①()f x 在(]
0π，上有最小值，无最大值； ②设()()()F x f x f x =--，则()F x 为偶函数；
③()f x 在()02π，
上有两个零点 其中正确结论
序号为________.（写出所有正确结论的序号）
15.地铁某换乘站设有编号为A B C D E ，，，，的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散
1000名乘客所需的时间如下：
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是________.
三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.已知函数()()2032
f
x cos xsin x πωωω⎛
⎫
=-
+> ⎪⎝
⎭， ，求()f x 在66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的值域. 从①若()()12122f x f x x x -=-，
的最小值为2π；②()f x 两条相邻对称轴之间的距离为2
π
；③若的
()()12120f x f x x x ==-，的最小值为
2
π
，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 17.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分，每项评分最低分0分，最高分100分，每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：
请根据图中所提供信息，完成下列问题：
（I ）若从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率；
（II ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（III ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？（只写出结果） 18.如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，
01190,1,2,BAC AB BC BB C D CD ∠======1CC D ⊥平面11ACC A ．
（Ⅰ）求证： 1AC DC ⊥．
（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3π
？若存在，求BP BC
的值，若不存在，说明理由．
19.已知函数()sin cos f x x x a x x =++，R a ∈.
的
（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程；
（2）当=2a 时，求()f x 在区间[0,
]2
π
上的最大值和最小值；
（3）当2a >时，若方程()30f x -=在区间[0,
]2
π
上有唯一解，求a 的取值范围.
20.已知点3(1,)2P 在椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线3
2
y =
截得的弦长是定值． 21.已知项数为()
*
2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*
1,2,,n a N
n m ∈=L ；②
12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*·
··1
m n n a a a a b N m +++-=
∈-，
其中1,2,,n m =L 则称{}n b 为{}n a 的
“伴随数列”.
（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；
（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12·
··m b b b >>>； （III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 最大值.
的的。