指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且。

②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q )。

②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q )。

③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q )。

. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log Na x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②l og 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。

（2）对数的重要公式：①换底公式：log log (,1,0)log N Na bbaa b N =>均为大于零且不等于； ②1log log ba ab=。

（3）对数的运算法则：如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M NMa a alog log log -=； ③)(log log R n M n M a na ∈=；④b mnb a na m log log =。

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b.4、反函数指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

（三）幂函数1、幂函数的定义形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，12y x=，y=x-1方法：可画出x=x0；当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x，12y x=，y=x-1；当0<x0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1，12y x=，y=x，y=x2，y=x3。

三：例题诠释，举一反三知识点1：指数幂的化简与求值例1.(2007育才A)（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a(3)100.256371.5()86-⨯-+知识点2：指数函数的图象及应用例2.(2009广附A)已知实数a 、b 满足等式b a )31()21(=，下列五个关系式：①0＜b ＜a 。

②a ＜b ＜0。

③0＜a ＜b 。

④b ＜a ＜0。

⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个变式：（2010华附A ）若直线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x且)1≠a 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_______. 知识点3：指数函数的性质例3.（2010省实B ）已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性。

（Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．变式：（2010东莞B ）设a ＞0,f(x)=xx a a e e +是R 上的偶函数. （1）求a 的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数. 知识点4：对数式的化简与求值例4.（2010云浮A ）计算：（1）)32(log 32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-（3）21lg4932-34lg 8+lg 245.变式：（2010惠州A ）化简求值.（1）log 2487+log 212-21log 242-1。

（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25。

（3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83). 知识点5：对数函数的性质例5.（2011深圳A ）对于01a <<，给出下列四个不等式： ①1log (1)log ();a a a a a +<+②1log (1)log (1)a a a a+>+； ③111;aaaa++<④111;aaaa++>其中成立的是（）（A ）①与③（B ）①与④（C ）②与③（D ）②与④ 变式：（2011韶关A ）已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb b b a 1log ,log ,1的大小关系是 （ ）A.log a bb b b a 1log log 1<< B.b b b ba a 1log 1log log << C.bb b a b a 1log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log <<例6.（2010广州B ）已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围. 变式：（2010广雅B ）已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围. 知识点6：幂函数的图象及应用例7.(2009佛山B)已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．变式：（2009揭阳B ）已知幂函数f(x)=x 322--m m（m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函数f(x)。

（2）讨论F （x ）=a ）（）（x xf bx f -的奇偶性.四：方向预测、胜利在望 1．（A ）函数41lg)(--=x xx f 的定义域为（ ） A ．(1，4)B ．[1，4)C ．(－∞，1)∪(4，＋∞) D ．(－∞，1]∪(4，＋∞) 2.（A ）以下四个数中的最大者是（ ）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln23（B ）设a>1，函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为,21则a=( )(A)2 （B ）2 （C ）22 （D ）44.（A ）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则（ ）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<5.（B ）设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为（ ） (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃（10，+∞）(D)（1，2） 6．（A ）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） Ａ．R Q P << Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q << 7．(A)已知c a b 212121log log log <<，则( )A ．cab222>>B ．c b a222>>C ．a b c 222>> D ．b a c 222>>8．（B ）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（ ）（A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+(C) 1()()x x f x a a -=+ (D)2()2xf x lnx-=+ 9.（A ）函数y =的定义域是：（）A [1,)+∞B 23(,)+∞C 23[,1]D 23(,1]10.(A)已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41-B ．41C ．21-D ．2111．（B ）若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x、三、四象限，则一定有（ ） A ．010><<b a 且 B ．01>>b a 且C ．010<<<b a 且D ．01<>b a 且12．(B)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=（ ） A.42B. 22C. 41D. 21 13.(A)已知0＜x ＜y ＜a ＜1，则有（ ）（A ）0)(log <xy a （B ）1)(log 0<<xy a （C ）2)(log 1<<xy a （D ）2)(log >xy a 14.（A ）已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（ ）（A ）34 （B ）8 （C ）18 （D ）21 15．（B ）函数y ＝lg|x| （ ）A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 16.（A ）函数3)4lg(--=x x y 的定义域是____________________________.17．（B ）函数1(01)xy aa a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ．18．（A ）设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩ 则1(())2g g =__________19．（B ）若函数f(x) =1222--+aax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为___________. 20．(B)若函数)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数，则a =．21.(B)已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.参考答案：三：例题诠释，举一反三 例1. 解：（1）92，（2）2a 变式：解：（1）1, （2）.4514545)(2323212331361ab ab ab b a b a b -=⋅-=⋅-=÷-----(3)110例2. 解：B变式：解：)21,0(；例3. 解：（Ⅰ）1=b （Ⅱ）减函数。