第一课时 对数及其运算【知识要点】 1.对数的定义：如果N a b=（a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log2.指数式与对数式的关系：b N N a a b=⇔=log （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.3.对数运算公式：如果0a >，1a ≠，0M >，0N >，那么 （1）log 10a =； log 1a a =； log a Na N =； logb a a b =；（2）()log log log a a a MN M N=+ （3）log log log aa a MM N N=- （4）()log log n a a M n M n R =∈（5）1log log aa M n=（6）换底公式 ()log log 0,1,0,0,1log c a c bb a a bc c a=>≠>>≠ 换底公式推论：（1）1log log a c c a =；（2）log log log 1a b c b c a ⋅⋅=；（3）log log m n a a n b b m= 【典题精讲】题型一 对数的化简、求值1.b N N a a b=⇔=log ．2．注意对数恒等式log aN a N＝，对数换底公式log log log b a b NN a=及等式m n a a a 1log b log b,log b b n m log a=⋅=在解题中的灵活应用．【例1】(1) 若23=x，则x = 465=⎪⎭⎫⎝⎛x，求=x(2)设3643==ba ，则=+ba 12__________； (3)计算：22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++解析：(2)由3a ＝4b ＝36得a ＝log 336，b ＝log 436，再根据换底公式得a ＝log 336＝1log 363，b＝log 436＝1log 364.所以2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3.【变式1】已知32a=，那么33log 82log 6-用表示是（ A ）A ．2a -B ．52a -C ．23(1)a a -+ D ． 23a a -【变式2】若=-=-33)2lg()2lg(,lg lg y x a y x 则（ A ）A ．a 3B ．a 23C ．23-aD ．a【变式3】（1）计算=-+23lg 53lg 25lg __________. 答案：1（2）计算：=+⋅+20lg 5lg 2lg 5lg 2__________. 答案：2【例2()lg1000lg1041lg10lg102-==-⨯-； 【变式1】lg 的值是（ ）A.12B.1C.10D.100 【答案】B【解析】由1==，故选B.【变式2】已知,lg ,24a x a==则x =________.【解析】由42a =得12a =，所以1lg 2x =，解得x =,【变式3】设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝_________.【解析】因为2a ＝5b ＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10，m ＝10．【变式4】(1)若0)](log [log log 432=x ，则x =___________（2）若__________3log ,2log123==则a（3）若2log 2,log 3,m na a m n a +===___________答案：(1) 64 (2)11+a (3) 12【变式5】已知()lg lg 2lg 23x y x y +=-，求32log xy的值.【解析】2009223,230(423)x y x lgx lgy lg x y x y y xy x y >⎧⎪>⎪+=-∴∴=⎨->⎪⎪-⎩（），＝或1x y =（舍去），33229log log 24x y ==. 题型二 对数换底公式的应用【例2】 设+∈R z y x ,,，且zy x 643==.（1） 求证：yx z 2111=-； （2）比较z y x 6,4,3的大小。

【变式6】已知,518,9log 18==b a 求45log 36。

【课堂练习】 1．若x x310932⋅=+，那么12+x 的值为（ ）A ．1B ．2C ．5D ．1或52．如果方程lg2x+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0的两根为α、β，则α·β的值是（ ）A ．lg7·lg5B ．lg35C ．35D ．3513．=++-31021)6427()5(lg )972(___________, =-2lg 9lg 21100_________________ . 4．__________50lg 2lg 5lg 2=⋅+；=+-)223(log )12(_____________.5．________,2log 6log 31log ________,32log 63564==⋅⋅=x x 则若. 若__________3log ,2log123==则a 。

6．的值为则且已知a b a b b a b a b a log log ,310log log ,1-=+>>_________. 7．求值或化简： （1）142log 2112log 487log 222--+； （2）1536lg 27lg 321240lg 9lg 211++--+. 8．若14log 3=x ，求xx xx --++222233的值。

第二课时 对数函数的图像与性质【知识要点】 1．对数函数的概念：一般地，函数)10(log ≠>=a a x y a 且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是),0(+∞。

2．对数函数的图象与性质：指数函数xa y =与对数函数x y a log =互为反函数，它们的图象关于直线x y =对称．【典题精讲】题型一 对数型函数过定点【例1】（1）函数2log (x 1)2y =+- 的图像恒过点_______答案： )2,0(-（2）已知函数)10)((log )(≠>+=a a b x x f a 且的图像过两点)0,1(-和)1,0(，则 a ＝ ________，b ＝________.答案 2 2解析 f (x )的图像过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2. 【变式1】函数()11log --=x y a 的图像恒过点_______.答案： )1,2(-题型二 对数型函数的图像【例2】已知a >b ，函数f (x )＝(x －a )(x －b )的图象如图所示，则函数g (x )＝log a (x ＋b )的图象可能为( )答案： 由图象可知0<b <1<a ，所以g (x )＝log a (x ＋b )为增函数，且图象是由f (x )＝log a x 的图象向左平移b 个单位长度得到的，只有B 符合．【变式1】已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0，a ≠1)，若f (4)·g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的图象大致是( )答案： B解析 ∵f (4)＝a 2>0，f (4)·g (－4)<0， ∴g (－4)<0，∴log a 4<0，∴0<a <1，∴f (x )为减函数，g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，故选B. 【变式2】已知c 1：y ＝log a x ，c 2：y ＝log b x ，c 3：y ＝log c x 的图象如图(1)所示．则在图(2)中函数y ＝a x 、y ＝b x 、y ＝c x 的图象依次为图中的曲线__________．答案： c a b <<<<10 321,,m m m 题型三 对数型函数的定义域及值域【例3】函数256()lg 3x x f x x -+=+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C .【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解之得22,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C .【变式1】函数y =C ）A.3(,)4+∞B.3(,)4-∞C.3(,1]4D.3(,1)4【例4】已知)14(log )(4-=xx f ．(1)求)(x f 的定义域；(2)讨论)(x f 的单调性；(3)求)(x f 在区间]2,21[上的值域． 解 (1)由4x －1>0，解得x >0，因此f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间[12，2]上递增，又f (12)＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在[12，2]上的值域为[0，log 415]．【变式2】函数12log )(22+=x x f 的值域为( ) A ．[1，＋∞) B ．(0,1] C ．(－∞，1] D ．(－∞，1) 答案 因为2x 2＋1≤2，所以log 22x 2＋1≤log 22＝1，即f (x )≤1，故选C.【变式3】函数x x y 222log )1(log -+=的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：y ＝log 2(x 2＋1)－log 2x ＝log 2x 2＋1x ＝log 2(x ＋1x)≥log 22＝1(x >0)． 【变式4】函数|log |)(3x x f =在区间],[b a 上的值域为]1,0[，则a b -的最小值为________． 解析：如图所示为f (x )＝|log 3x |的图象，当f (x )＝0时，x ＝1，当f (x )＝1时，x ＝3或13，故要使值域为[0,1]，则定义域为[13，3]或[13，1]或[1,3]，所以b －a 的最小值为23.答案：23【变式5】已知])9,1[(2log )(3∈+=x x x f ，则函数)()(22x f x f y +=的最大值是( )A ．13B ．16C ．18D ．22 答案 A解析： y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎨⎧1≤x ≤91≤x 2≤9，即x ∈[1,3]．若令t ＝log 3x ，则t ∈[0,1]，∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y 取得最大值13，故选A. 题型四 对数型函数的单调性应用【例5】比较下列各组数中两个值的大小：（1）5.8log ,4.3log 22； （2）7.2log ,8.1log 3.03.0；（3）1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a 【变式1】设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（ ）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >> 【答案】C.【解析】因为2221122log log 21,log log 10,(0,1),a b c πππ-=>==<==∈所以b c a >>，选C.【例6】设0<x <y <1，则下列结论中错误．．的是( B ) ①2x <2y ②22()()33x y< ③log x 2<log y 2 ④12log x >12log yA ．①②B ．②③C ．①③D ．②④【变式2】（1）已知312-=a ，31log 2=b ，31log 21=c ，则c b a ,,大小关系是 （填序号）①c b a >>；②b c a >>；③b a c >>；④a b c >>.答案 ③ 【例7】设)12lg()(a xx f +-=是奇函数，则使0)(<x f 的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析： ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1.∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )＜0得，0＜x ＋11－x＜1，∴－1＜x ＜0. 答案 A【例8】 函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递增区间是__________．答案 (－∞，－1)解析 设t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t .由t >0解得x <－1或x >3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．又t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在(－∞，1)上为减函数， 在(1，＋∞)上为增函数．而函数y ＝log 12t 为关于t 的减函数，所以，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)．【变式3】函数213log (43)y x x =-+的单调递增区间为( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(0，＋∞) 易错分析：解答本题，易于因为忽视函数的定义域，而导致错误．正确解析：令243u x x =-+，原函数可以看作13log y u =与243u x x =-+的复合函数．令2430u x x =-+>，则1x <或3x >. ∴函数213log (43)y x x =-+的定义域为(,1)(3,)-∞+∞．又243u x x =-+的图象的对称轴为2x =，且开口向上，∴243u x x =-+在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数． 而函数13log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴213log (43)y x x =-+的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．题型五 求参数的取值范围【例9】已知()()()34,1log ,1a a x a x f x x x --<⎧⎪=-∞+∞⎨≥⎪⎩是，上的增函数，那么a 的取值范围是A.()1,+∞B. (),3-∞C. ()1,3D.3,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】由题设301340a a a a ->⎧⎪>⎨⎪--≤⎩13a ⇒<<，故选C.【变式1】已知函数12log ,0,()2,0,x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是 ( )A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,1]【答案】D【解析】在(,0]x ∈-∞时，()f x 是增函数，值域为(0,1]，在(0,)x ∈+∞时，()f x 是减函数，值域是(,)-∞+∞，因此方程()f x k =有两个不等实根，则有(0,1]k ∈.【变式2】函数)3(log )(-=ax x f a 在]3,1[上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．),1(+∞B ．)1,0(C ．)31,0( D ．),3(+∞答案 D解析 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3>0，即a >3，故选D.【变式3】已知)3(log )(221a ax x x f +-=在区间),2[+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．(－∞，4)C ．(－4,4]D ．[－4,4]答案 ∵y ＝x 2－ax ＋3a ＝(x －a 2)2＋3a －a 24在[a 2，＋∞)上单调递增，故a 2≤2⇒a ≤4， 令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，g (x )min ＝g (2)＝22－2a ＋3a >0⇒a >－4，故选C.答案 C【课堂练习】1．若函数m y x +=+-12的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是（ ） A.2-≤m B.2-≥m C.1-≤m D.1-≥m2．如图为指数函数xx x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则d c b a ,,,与1的大小关系为（ ）A.d c b a <<<<1B.c d a b <<<<1C.d c b a <<<<1D.c d b a <<<<13．若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是（ ） A.)1,0( B.)21,0( C.)1,21( D.),1(+∞ 4．已知7.01.17.01.1,8.0log ,8.0log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A.c b a <<B.c a b <<C.b a c <<D.a c b <<5．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若（ ） A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－2 6．（1）)35lg(lg x x y -+=的定义域为_______；（2）312-=x y 的值域为_________；（3）)lg(2x x y +-= 的递增区间为___________，值域为___________.7．（1）041log 212≤-x ，则________∈x . （2）函数)2(log )(π≤≤=x x x f a 的最大值比最小值大1，则__________∈a .8．)(x f 为奇函数且0>x 时，x x f 10)(=，当0≤x 时，解析式为 .9．函数)1,0(≠>=a a a y x 在[]2,1上最大值比最小值大2a ，则_________=a .10．已知3log 1)(x x f +=，2log 2)(x x g =，试比较)(x f 与)(x g 的大小关系。