2013—2014学年度第二学期高三期中考试文 科 数 学 试 题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一 选择题 （每小题5分，共60分，且每小题只有一个正确选项）1、已知复数521i iz +=，则它的共轭复数z 等于( b )A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i --2、已知等差数列}{n a 中，299,161197==+s a a , 则12a 的值是（ ）A ． 15B ．30C ．31D ．643、已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=( )A ．13B ．13-C ．23D ．23-4、若向量a ，b满足||1a = ，||2b = ，且()a a b ⊥+ ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．2πB ．23πC ．34πD ．56π5、某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值是（ ） A ．63 B ．31 C ．27 D ．156、若点(),x y 在曲线y x =-与2y =-所围成的封闭区域内（包括边界），则2x y -的最大值为（ ） A ．－6 B ．4 C ．6 D ．87、下列函数中，与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性 均相同的是（ ）A ． 2ln(1)y x x =++B ．2y x =C ．tan y x =D ． xy e =8、以下判断正确的是（ ）A .相关系数r (||1r ≤)，||r 值越小，变量之间的线性相关程度越高.B .命题“2,10x R x x ∈+-<存在”的否定是“2,10x R x x ∈+->任意”. C .命题“在ABC ∆中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为假命题.D .“0b =”是“函数2()f x ax bx c =++是偶函数”的充要条件. 9、已知椭圆221:143x y C +=，双曲线22222:1(,0)x y C m n m n -=>，椭圆1C 的焦点和长轴端点分别是双曲线2C 的顶点和焦点，则双曲线2C 的渐近线必经过点（ ）A ．(2,3)B ．(2,3)C ．(3,1)D ． (3,3)- 10、已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ）11、设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24y x =±B.28y x =±C. 24y x =D.28y x = 12、若点(,)P a b 在函数23ln y x x =-+的图像上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图像上，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．2 B. 2 C.22 D.8第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸上相应位置。
13、已知全集{}U=，1,2,3,4，集合{}{}1,2,2,3,4A B==，则的子集个数是．14、在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且角A=60°，若1534ABCS∆=，且5sinB=3sinC，则ABC的周长等于。
15、正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为____________.16、若数列{}na的通项公式21(1)nan=+，记122(1)(1)(1)n nc a a a=--⋅⋅⋅-，则nc=_________三解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤，只写出最后结果不得分）17、（本小题满分12分）若)0(cossincos3)(2>-=aaxaxaxxf的图像与直线)0(>=mmy相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列.(1)求a和m的值；(2) ⊿ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。
若)23 2，（A是函数)(xf图象的一个对称中心，且a=4，求⊿ABC面积的最大值。
18、（本小题满分12分）今年我校高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，。
800进行编号：（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽出100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a 、b 的值；（3）在地理成绩为及格的学生中，已知10,8a b ≥≥，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率19、（本小题满分12分）如图,ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，1ED =，//EF BD 且12EF BD =.（1）求证:平面EAC ⊥平面BDEF人数数学 优秀良好及格 地理优秀 7205良好9186及格a4b（2）求几何体ABCDEF 的体积20、（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为(1,0)F ，A 、B 是椭圆C 的左、右顶点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且△APB 面积的最大值为23． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线AP 与直线2x =交于点D ，证明：以BD 为直径的圆与直线PF 相切．21、（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =( 1)若直线y x m =+与函数()f x 的图象相切，求实数m 的值； (2)证明曲线()y f x =与曲线1y x x =-有唯一的公共点；(3)设0a b <<，比较()()2f b f a -与b ab a -+的大小，并说明理由。
选做题（本小题满分10分）请在答题卡上将所选题目的题号后面的小方框涂黑，并在答题卡上作答。
22.选修4—1；几何证明选讲．如图，已知⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为M ，P 是CD 延长线上一点，PE 切⊙O 于点E ，连接BE 交CD 于点F，证明：(1)∠BFM ＝∠PEF ； (2)PF 2＝PD ·PC .23.选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点 为极点，以x 铀正半轴为极轴，已知曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），射线,,44ππθϕθϕθϕ==+=-与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点A 、B 、C ． (I)求证：2OB OC OA+=；(Ⅱ)当12πϕ=时，B ，C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值．24、选修4—5：不等式选讲 设不等式112x x ++-≤的解集为M（1）求集合M ；（2）若x M ∈,11,,69y z ≤≤求证：5233x y z +-≤高三期中文数答案：1---12 BACCA CADDC BD 13、4 14、819+ 15、4π 16、12++n n 17、解：（1）ax ax ax x f cos sin cos 3)(2-==)32sin(23π--ax ………………3分 由题意，函数)(x f 的周期为π，且最大（或最小）值为m ，而0>m ,0123<-所以，,1=a 123+=m ………… ……………………6分（2）∵（)232，A 是函数)(x f 图象的一个对称中心 ∴0)3sin(=-πA又因为A 为⊿ABC 的内角，所以3π=A ………… ……………………8分2222116222b c bc b c bc bc bc bc=+-⋅=+-≥-=所以16bc ≤（当且仅当c b =时取等号）……………10分max 43S =（当且仅当c b =时取到最大值） ……………12分18、解：（1）依题意，最先检测的3个人的编号依次为785,667,199； …………3分（2）由3.010097=++a，得14=a ， …………5分∵100654182097=++++++++b a ，∴17=b ； …………7分 （3）由题意，知31=+b a ，且8,10≥≥b a ，∴满足条件的),(b a 有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14组，且每组出现的可能性相同. ….…9分 其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组. …………11分∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为73146=. (12)分19、（1）．，平面平面AC ED ABCD AC ABCD ED ⊥∴⊂⊥, 为正方形ABCD BDEF AC D BD ED AC BD 平面又⊥∴=⊥∴ ,，又EAC AC 平面⊂，BDEF EAC 平面平面⊥∴………6分（2）因为⊥ED 平面ABCD ∴BD ED ⊥又EF ∥BD 且EF =21BD ，是直角梯形BDEF ∴，又的正方形是边长为2ABCD ，2,22==EF BD22321222=⨯+∴）（的面积为梯形BDEF ，又BDEF AC 平面⊥，所以几何体的体积.222233123122=⨯⨯⨯=⋅⨯==-AO S V V BDEF BDEF A ABCDEF (12)分20．解析：（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．由题意知2221223,21, .a b c a b c ⎧⋅⋅=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,3a b ==． 故椭圆C 的方程为22143x y+=．……………………4分（2）由题意，设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+． OFE PD BAy x所以2026834k x k -=+，00212(2)34k y k x k =+=+．………………………………………6分 因为点F 坐标为(1, 0)，当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±.直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线PF 相切．…8分当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y k k x k ==--.所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--．点E 到直线PF 的距离222228421414161(14)k kk k k d k k ----=+-322228142||14|14|k k k k k k +-==+-．…………10分又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =．故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，以BD 为直径的圆与直线PF 相切． ………………………………………12分21、解：（1）/1()f x x =设切点为00(,)x y ，则11,k x ==0001,ln ln10x y x ∴====，代入y x m =+，得1m =- ……………………….2分（2）令11()()()ln h x f x x x x x x =--=--，则2/2213()1124()10x h x x x x ---=--=< ∴()h x 在(0,)+∞内单调递减，……………………….4分又(1)ln1110h =-+=所以1x =是函数()h x 的惟一的零点。