1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数解 近似值x =3.14＝0.314×101,即m =1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有31105.06592001.0-*⨯≤=- x x .即n =3，故x =3.14有3位有效数字. x =3.14准确到小数点后第2位.又近似值x =3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有5-1*10⨯50≤00000740=-.. x x即m =1,n ＝5，x =3.1416有5位有效数字.而近似值x =3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有4-1*10⨯50≤00009260=-.. x x即m =1,n ＝4，x =3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.0004 －0.00200 9000 9000.00解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1绝对误差限：4105.0000049.020004.0-*⨯≤≤-=-x x x m -n =-4,m =1则n =5,故x =2.0004有5位有效数字1x =2，相对误差限000025.010221102151)1(1=⨯⨯=⨯⨯=---n r x ε（2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m =-25105.00000049.0)00200.0(-*⨯≤≤--=-x x xm -n =-5, m =-2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字1x =2，相对误差限3110221-⨯⨯=r ε=0.0025(3) ∵ 9000=0.9000×104, m =4，0105.049.09000⨯<≤-=-*x x xm -n =0, m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字4110921-⨯⨯=r ε＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m =4，2105.00049.000.9000-*⨯<≤-=-x x xm -n =-2, m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字 相对误差限为6110921-⨯⨯=rε＝0.000 00056由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.1.3 ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是多少？解 精确到310-＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.6932.1 用二分法求方程013=--x x在[1, 2]的近似根，要求误差不超过31021-⨯至少要二分多少？解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k只要取n ＝10.2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k只要取n ＝14.2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：（1）211xx +=，迭代公式2111kk x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。

解：（1）令211)(x x f +=，则32)(xx f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。

（2）令321)(x x f +=，则322)1(32)(-+='x xx f ，由于134.0)5.11(35.12)(322<≈+⨯='x f迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。

（3）令11)(-=x x f ，则3)1(21)(--='x x f ，由于 1)15.1(21)(3>--='x f迭代发散。

（4）令1)(3-=xx f ，则2132)1()(--='x x x f ，由于115.15.11)(3232>-=-='x x x f迭代发散。

具体计算时选第二种迭代格式，3211kk x x +=+ n=0,1,…计算结果如下：4727057.1,481248.1,5.1210===x x x466243.1,4670480.1,4688173.1543===x x x4656344.1,4657102.14658768.1876===x x x4656000.19=x4656000.1,10219489=⨯≤--x x x2.5 对于迭代函数)2()(2-+=x C x x ϕ，试讨论：（1） 当C 取何值时，),2,1,0(),(1==+k x x k k ϕ产生的序列{}k x 收敛于2；（2） C 取何值时收敛速度最快？解：（1）)2()(2-+=x C x x ϕ，Cx x 21)(+='ϕ，由已知条件知，当1221)2(<+='C ϕ，即021<<-C 时，迭代收敛。

（2）当0)(='x ϕ时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。

即0221)2(=+='C ϕ，所以221-=C 时收敛最快。

2.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：(1)c 1不使用除法运算； (2) c 1不使用开方和除法运算. 解：（1）令c x =1，取21)(,1)(x x f c x x f -='-=，则22211cx x xc x x x -=---= 迭代格式为 212kk k cx x x -=+注：若令c x 1=，取1)(,1)(='-=x f cx x f ，则 x c x x x =--=11，显然迭代格式不法不符合题意。

（2） 令c x =21，取322)(,1)(x x f x c x f ='-=，则x x c x c x x x c x x )223(223212332-=-=--=迭代格式 k k k x x c x )223(21-=+2.10 设23)()(a x x f -=。

（1） 写出解0)(=x f 的Newton 迭代格式。

（2） 证明此迭代格式是线性收敛的。

解：因23)()(a x x f -=，故)(6)(32a x x x f -='，由Newton 迭代公式：,1,0,)()(1='-=+n x f x f x x n n n n得,1,0,665)(6)(232231=+=---=+n x ax a x x a x x x nn n n n n n以下证明此格式是线性收敛的 因迭代函数,665)(2x a x x +==ϕ而,365)(3--=='x ax ϕ又,3*a x =则 0213165)(365)(333≠=-=-=='-a a a ϕ故此迭代格式是线性收敛的。

第三章 解线性方程组的直接方法习题及解答（考试时二元）3.2 用列主元素消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++-6557710462332121321x x x x x x x x 解：第一步列选主元10，将第一和第二行交换，再消去1x ，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--25106175250610100710321x x x 第二步列选主元25，将第二和第三行交换，再消去2x ，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-531257*********0710321x x x 回代求解得0,1,1123=-==x x x3.3 用高斯-约当法求逆矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=431212321A解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100431010212001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100431001321010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--15.0035.2005.0125.1005.0015.01⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--05.0125.1015.0035.2005.0015.01⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----6.02.012.0004.02.002.1102.0604.001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3151416010112001 则 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-3154161121A 3.4 用矩阵的直接三角分解解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+--=-+39673412321321321x x x x x x x x x 解 设系数矩阵A 的杜利特尔分解为A=LU ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---332322131211323121111196314112u u u u u u l l l 将右端两矩阵相乘后比较两端，可得1,1,2131211-===u u u3/6,2/411311121====u l u l53,31132123122122=-=-=--=u l u u l u 2,93222321231-==+l u l u l 得12,1333323321331=-=++u u u l u l 得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1253112,123121U L再求解方程组LY=b, UX=Y , 即：⎪⎩⎪⎨⎧==+-=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=33232132132121112532,323721y x y x x y x x x y y y y y y 先由前一个方程组求得18,9,1321==-=y y y ，代入后一个方程组，求得原方程的解为23,21,21321=-==x x x3.7 证明对任意非奇异矩阵A 、B 有列选主 消元 列选主 消元 消元BA B A B A -≤-----1111证：BA B A ---11 11---=B BA A11)(---≥B B A A 11)(---=B B A I11---=A B 11---=B A等式成立3.8 证明对任意非奇异矩阵A 有AA 11≥-证：因为 A A I1-=所以AA A A I ⋅≤=--11AA 11≥-3.9 设A 、B ∈nn R ⨯为非奇异矩阵，证明（1） Cond (A )≥1，Cond (A )= Cond (A -1)； （2） Cond (A α)=Cond (A )，0,≠∈ααR ；（3） Cond (AB )≤Cond (A ) Cond (B )。