课时跟踪检测（二十四） 两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数一、基本能力达标1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝( )A.12－66 B ．1－66 C ．－12＋66 D ．－1＋66解析：选A ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝33，∴sin α＝63，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos αcos π6－sin αsin π6＝33×32－63×12＝12－66. 2．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是 ( )A ．α＝13π12，β＝3π4B ．α＝π2，β＝π3C ．α＝π2，β＝π6D ．α＝π3，β＝π4解析：选B ∵cos αcos β＝32－sin αsin β，∴cos αcos β＋sin αsin β＝32，即cos(α－β)＝32，经验证可知选项B 正确．3．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．三者都有可能 解析：选C ∵sin A sin B ＜cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B ＞0，∴cos(A ＋B )＞0，∴A ＋B ＜90°，∴C ＞90°，∴△ABC 是钝角三角形．4．已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝ ( )A.45 B ．－45 C.35 D ．－35 解析：选D3cos x －sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos x －cos π3sin x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－65，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－35.5．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，sin(α＋β)＝35，则sin β等于( )A ．0B ．0或2425 C.2425 D ．±2425解析：选C 由0<α<π2<β<π得，π2<α＋β<3π2，又sin α＝35，sin(α＋β)＝35，∴cos α＝45，cos(α＋β)＝－45，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝2425.6．sin 15°＋cos 165°的值是________． 解析：原式＝sin(45°－30°)＋cos(120°＋45°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 120°cos 45°－sin 120°sin 45°＝22×32－22×12－12×22－32×22＝－22.答案：－227．设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：∵b ＝2cos 65°，c ＝2(cos 43°cos 24°－sin 24°sin 43°)＝2cos 67°，∴b ＞a ＞c .答案：b ＞a ＞c8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________． 解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β， ① －cos γ＝cos α＋cos β， ②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β，化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12.答案：－129．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值．解：由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513. 由α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1.又∵α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴2β＝π，则β＝π2.10．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)． 解：∵π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，∴π2＜π4＋α＜π，3π4＜3π4＋β＜π，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45，cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝6365.二、综合能力提升1．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C ＝ ( )A ．－55 B.55 C ．－255 D.255解析：选D ∵A ＝π4，∴cos A ＝sin A ＝22，又cos B ＝1010，0＜B ＜π，∴sin B ＝31010，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×1010＋22×31010＝255. 2．已知sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为( )A ．－17 B.17 C ．－7 D ．7解析：选C 由sin(α＋β)＝14得sin αcos β＋cos αsin β＝14，①由sin(α－β)＝13得sin αcos β－cos αsin β＝13，②由①②得sin αcos β＝724，cos αsin β＝－124，以上两式相除得tan αtan β＝－7.3．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形 D ．等边三角形 解析：选C ∵在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－(A ＋B )．∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴2cos B sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0.∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B .4．若cos αcos β＝32－sin αsin β，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则α－β的值是 ( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3解析：选A 由题意知cos(α－β)＝32，又0<α<π2，－π<－β<－π2，所以－π<α－β<0，故α－β＝－π6.5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝________.解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.答案：－16．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β＝________.解析：由条件知：⎩⎪⎨⎪⎧cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45， ①cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45. ②①＋②得2cos αcos β＝0，∴ cos αcos β＝0. 答案：07．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255，求cos(α－β)的值．解：∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)． ∴|a －b |＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＋sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β ＝2－2cos (α－β)＝255，∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.8．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：(1)cos(2α－β)的值； (2)β的值．解：(1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010>0，∴0<α－β<π2.所以sin α＝ 1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝ 1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.。