2021年高二学业水平考试数学试题含答案
一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)
1．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B 中元素的个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
2．在x轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为.
A． B． C. D．
3．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方
形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为
A．B．C． D．
4．已知角的终边经过点P(-3,4)，则下列计算结论中正确的是（）
A． B． C． D．
5．某电视台在娱乐频道节目播放中，每小时播放广告20分钟，那么随机打开电视机观看这个频道看到广告的概率为（）
A． B． C． D．
6．三个数的大小顺序为（）
A． B． C． D．
7．在等比数列中，且则数列的公比是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．设且，则的最小值是( )
A. 6
B.
C.
D.
9．已知直线及平面，下列命题中的假命题是（）
A.若，，则.
B.若，，则.
C.若，，则.
D.若，，则.
10．把正弦函数图象上所有的点向左平移个长度单位，再把所得函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，得到的函数是（）
A．y=sin B.y=sin C.y=sin D. y=sin
11．不等式组的区域面积是( )
A． B． C． D．
12．已知圆内一点P（2，1），则过P点最短弦所在的直线方程是（） A． B． C． D．
二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
)
13．已知函数，则．
14．已知ab时，a//b
15．在⊿ABC中，已知．
16．一元二次不等式的解集是，则的值是__________.
三．解答题：(本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）
17．(本小题满分10分) 某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4,
⑴求他乘火车或乘飞机去的概率；
⑵求他不乘轮船去的概率；
18．（本小题满分12分）已知函数10),1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且 (1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x)的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集.
19．(本小题满分12分)如下图所示，圆心C 的坐标为（2，2），圆C 与轴和轴都相切．
（I ）求圆C 的一般方程；
（II ）求与圆C 相切，且在轴和轴上的截距相等的直线方程．
20．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
a＝3，b＝5，c＝7.
(1)求角C的大小；
(2)求sin（）的值.
21．（本小题满分12分）已知递增等比数列{a n}的前三项之积为8，且这三项分别加上1，2，2后又成等差数列.
(1)求等比数列{}的通项公式；
(2)记，求数列{}的前n项和.
22．(本小题满分12分) 如图所示，已知M、N分别是AC、AD的中点，BCCD．（I）求证：MN∥平面BCD；
（II）求证：平面B CD平面ABC；
（III）若AB＝1，BC＝，求直线AC与平面BCD所成的角．
黑龙江省高中数学学业水平考试 答案 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
） 13 、-12 14、k=-8 15、 16、 -14
三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)
17、(本小题满分10分) （1）0.7；（2）0.8；
18、(本小题满分12分)
解 (1)要使函数f (x )有意义.则⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定
义域为{x |－1<x <1}.
(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋
x )
＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数.
(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋1
1－x >1
(4)解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}. 19、(本小题满分12分) 解 (1) 依题意,半径,所以, 圆的标准方程是. 圆的一般方程为． （2）设直线方程为,则..
所求直线方程为：或．
20、(本小题满分12分)
解 (1)由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－1
2.
∵0＜C ＜π，∴C ＝
2π
3
. (2)由正弦定理b sin B ＝c
sin C ，得sin B ＝b sin C
c ＝
5sin 2π3
7＝5314
， ∵C ＝2π
3
，∴B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫53142＝11
14. ∴sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝5314×12＋1114×32＝437.
21、(本小题满分12分)
解 (1)设等比数列前三项分别为a 1，a 2，a 3， 则a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2又成等差数列. 依题意得⎩⎨⎧a 1a 2a 3＝8，
2（a 2＋2）＝（a 1＋1）＋（a 3＋2），
即⎩⎨⎧a 1·a 1q ·a 1q 2
＝8，2（a 1q ＋2）＝a 1＋1＋a 1
·q 2
＋2，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2
或⎩⎨⎧a 1
＝4，
q ＝12
(数列{a n
}为递增等比数列，舍去). ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由b n ＝a n ＋2n ，得b n ＝2n －1＋2n ， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝(20＋2×1)＋(21＋2×2)＋(22＋2×3)＋…＋(2n －1＋2n ) ＝(20＋21＋22＋…＋2n －1)＋2(1＋2＋3＋…＋n )
＝20（1－2n
）1－2＋2×n （1＋n ）2＝2n ＋n 2＋n －1.
22、(本小题满分12分) 解 （1）因为分别是的中点， 所以．
又平面且平面， 所以平面．
(2)因为平面, 平面， 所以．
又，所以平面．
又平面，所以平面平面．
(３)因为平面，所以为直线与平面所成的角． 在直角中，，所以．所以．
故直线与平面所成的角为．=22438 57A6 垦032261 7E05 縅h- 29944 74F8 瓸)+32177 7DB1 綱22076 563C 嘼21630 547E 呾z23247 5ACF 嫏。