合肥市第一次教学质量检测数学（理）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数i z 43+=，z 表示复数z 的共轭复数，则iz ＝（ A ．5 B ．5 C ．6 D ．62．设集合{0,},S a =T=2{|2},x x ∈Z <则“1a =”是“ST ⊆ A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的结果是（ ）A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 4．过坐标原点O 作单位圆221x y +=的两条互相垂直的半径O A 、在该圆上存在一点C ，使得O C a O A b O B =+（a b R ∈、）确的是（ ）A ．点(),P a b 一定在单位圆内B ．点(),P a b 一定在单位圆上C ．点(),Pa b 一定在单位圆外 D ．当且仅当0a b =时，点(),P a b 在单位圆上5．过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．14D ．46． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）221 12正视图侧视图俯视图A ．18+ B ．24+C ．24+．36+7、已知函数()s in s in 44f x x x ππ=--+，则一定在函数()y f x =图像上的点是（ ）A ．(),()x f x -B ．(),()x f x -C ．,()44x f x ππ⎛⎫---⎪⎝⎭ D ．,()44x f x ππ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭8．在ABC ∆中，已知c B a =cos 2， 212sin)cos 2(sin sin 2+=-C C B A ，则ABC ∆为（ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ． 钝角三角形9．已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥511y x y x 时，)0(>≥+=b a b y a x z 的最大值为1，则b a +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1010．对于函数()f x ，若∀,,a b c R ∈， ()()(),,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”．已知函数()1x xe tf x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ． [)0,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若随机变量ξ～)1,2(N ，且)3(>ξP ＝0.1587，则=>)1(ξP __________. 12．已知数列{}n a 满足12()n n a a n N ++=∈且21a =,则=20142log a .13．若nxx )3(-展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为_____________．14．某办公室共有6人，组织出门旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙两人的关系较为亲密，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有 种 15．已知直线：1cos sin =+y bx aθθ（b a ,为给定的正常数，θ为参数，ACDEF)2,0[πθ∈）构成的集合为S,给出下列命题：①当4πθ=时，S 中直线的斜率为ab ；②S 中所有直线均经过一个定点；③当a b =时，存在某个定点，该定点到S 中的所有直线的距离均相等； ④当a ＞b 时，S 中的两条平行直线间的距离的最小值为b 2； ⑤S 中的所有直线可覆盖整个平面．其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知1c o s ()c o s (),(,63432ππππααα+⋅-=-∈求：（Ⅰ）α2sin ； （Ⅱ）1ta n ta n αα-．17．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，且AD=DC=CB=12AB ．直角梯形ACEF 中，1//2E F A C ，F A C ∠是锐角，且平面ACEF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：B C ⊥A F ；（Ⅱ）若直线DE 与平面ACEF 所成的角的正切值是13，试求F A C ∠的余弦值．18．（本小题满分12分）已知函数)(,4)(23R x bx ax x x f ∈+++=在2x =处取得极小值．x（Ⅰ）若函数)(x f 的极小值是4-，求)(x f ；（Ⅱ）若函数)(x f 的极小值不小于6-，问：是否存在实数k ，使得函数)(x f 在[],3k k +上单调递减.若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的右焦点为F （1,0），设左顶点为A ，上顶点为B ,且BF AB FB OF ⋅=⋅，如图．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若)0,1(F ，过F 的直线l 交椭圆于N M ,两点， 试确定FN FM ⋅的取值范围．20．（本小题满分13分）某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4，…，9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，…，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，从其中抽取5个样品进行首轮检验，用),(j i P 表示编号为j i ,)151(≤<≤j i 的样品首轮同时被抽到的概率．（Ⅰ）求)15,1(P 的值；（Ⅱ）求所有的),(j i P )151(≤<≤j i 的和．21．（本小题满分13分） 已知函数xn x x f n +=)(，（x ＞0，),1Z n n ∈≥，以点))(,(n f n n 为切点作函数)(x f y n =图像的切线n l ，记函数)(x f y n =图像与三条直线n l n x n x ,1,+==所围成的区域面积为n a 。

（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）求证：n a ＜231n；（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求证：n S ＜95.合肥市第一次教学质量检测数学（理）参考答案一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 BACBACCBDD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．0.8413 12． 2012 13．－15 14．144 15．③④三、解答题：本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）【答案解析】 （Ⅰ）c o s()c o s()63ππαα+⋅-=11c o s ()s in ()s in (2),66234πππααα+⋅+=+=-……2分即1sin (2)32πα+=-，注意到(,)32ππα∈，故23πα+4(,)3ππ∈，从而23)32cos(-=+πα， ……5分ACDE FM213sin32cos(3cos)32sin(2sin =+-+=∴ππαππαα ……7分（Ⅱ）221s in c o s s in c o s 2c o s 22ta n 21ta n c o s s in s in c o s s in 22αααααααααααα----=-===-⋅= ……12分（或者6732ππα=+∴ ∴ 125πα=∴α2sin =2165sin=π, 2365cos2cos -==πα∴1ta n ta n αα-=αααααααααα2sin 212cos cos sin cossin sin cos cos sin 22-=-=-=32）17.（12分）【答案解析】（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD 中，∵AD=DC=CB=12AB ，∴AD 、BC 为腰，取AB 得中点H ，连CH ，易知，四边形ADCH 为菱形，则CH=AH=BH,故△ACB 为直角三角形，AC BC ⊥∴，…3分平面⊥ACEF平面ABCD ，且平面 ACEF 平面ABCD AC =，⊥∴BC 平面ACEF ，而A F ⊂平面ACEF ，故B C ⊥A F ． ……6分 （Ⅱ）连结DH 交AC 于M D,再连结EM 、FM ．易知四边形ADCH 为菱形，∴DM ⊥AC ，注意到平面⊥ACEF平面ABCD ，故DM ⊥平面ACEF．于是，D E M ∠即为直线DE 与平面ACEF 所成的角． ……9分设AD =DC =BC =a ,则MD =a 21，a MC 23=依题意，31tan ==∠EMDM DEM∴a ME 23=在ECM Rt ∆中，332323cos ===∠aa MEMC EMC∵1//2E F A C =AM ，∴四边形AMEF 为平行四边形 ∴AF ME // ∴EMC FAC ∠=∠∴33cos cos =∠=∠EMC FAC………12分18.（12分）【答案解析】（Ⅰ）()232f x x a x b '=++，由⎩⎨⎧-==4)2(0)2(/f f知⎩⎨⎧-=+++=++442480412b a b a ，解得2,4a b =-⎧⎨=-⎩， ……4分检验可知，满足题意．)(,442)(23R x x x x x f ∈+--=． ……6分 （Ⅱ）假设存在实数k ，使得函数)(x f 在[],3k k +上单调递减． 设()232f x x a x b '=++=0两根为)(,2121x x x x <，则22=x 由'()0f x <得),(21x x x ∈ ∴)(x f 的递减区间为],[21x x 由3221a x -=+ 解得2321--=a x ∴)(x f 的递减区间为]2,232[--a由条件有⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥=36)2(0)2(12/x x f f ，解得3,26a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ……10分∴函数)(x f 在[]2,1-上单调递减由⎩⎨⎧≤+-≥231k k ⎩⎨⎧-≤-≥⇒11k k ⇒1-=k所以，存在实数1-=k ，满足题意。

……12分 19.（13分）【答案解析】（Ⅰ）由已知，)0,(a A -，),0(b B ，)0,1(F ，则由BF AB FB OF ⋅=⋅得：012=--a b ∵122-=a b ∴022=--a a ，解得2=a ，∴3,422==b a 所以椭圆134:22=+yxC ……4分（Ⅱ）①若直线l 斜率不存在，则1:=x l ，此时)23,1(M ，)23,1(-N ，FN FM ⋅＝49-；②若直线l 斜率存在，设)1(:-=x k y l ，),(),,(2211y x N y x M ，则由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22yx x k y 消去y 得：01248)34(2222=-+-+kx k x k∴3482221+=+kk x x ，341242221+-=⋅kk x x∴FN FM ⋅),1(),1(2211y x y x -⋅-=]1)()[1(21212++-+=x x x x k ＝21149k+--∵02≥k∴11102≤+<k∴411432<+-≤k∴493-<⋅≤-FN FM综上，FN FM ⋅的取值范围为]49,3[--． ……13分20.（13分）【答案解析】（Ⅰ）由分层抽样可知：首轮检验从编号为1，2，3，…，9的洋品牌奶粉的样品中抽取3个，从编号为10，11，…，15的国产品牌奶粉的样品中抽取2个，故)15,1(P ＝26153928C C C C ⋅＝91． ……4分（Ⅱ）①当91≤<≤j i 时，),(j i P ＝3917C C ＝121，而这样的),(j i P 有29C =36个；②当1510≤<≤j i 时，),(j i P ＝151126=C ，而这样的),(j i P 有26C =15个；③当1591≤<≤≤j i 时，),(j i P ＝26153928C C C C ⋅＝91，而这样的),(j i P 有1619C C ⋅=54个．所以，所有的),(j i P )251(≤<≤j i 的和为121×36＋151×15＋91×54＝10． ……13分21．（13分）解：（Ⅰ）易知2/1)(xn x f n-=，切点为)1,(+n n ，则n l 方程为))(1()1(2n x nn n y --=+-即2)11(:+-=x ny l n ∴dx xn nx dx x nx n x a n nn nn )2(]2)11([11-+=---+=⎰⎰++=121)11ln(-++nnn（Ⅱ）构造函数=)(x h )1ln(x +323121x x x -+-，（x ≥0）则=)(/x h 0111132≤+-=-+-+xxxx x即函数=)(x h )1ln(x +323121x x x -+-，（x ≥0）单调递减，而0)0(=h ∴0)(≤x h ，等号在0=x 时取得， ∴当x ＞0时，)1ln(x +＜323121x x x +-成立∴知)11ln(n +＜32)1(31)1(211n nn+-∴n a =121)11ln(-++n n n ＜231n（Ⅲ）n a ＜231n＜)121121(32411312+--⋅=-⋅n n n∴当1=n 时，1a S n ==31＜95；当2≥n 时，∑∑==+==nk k nk k n a a a S 211＜)12112171515131(3231+--++-+-+n n 1213295+⋅-=n ＜95方法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同方法一； （Ⅲ）由（Ⅱ）知n a ＜231n，∴123n n S a a a a =++++L 222211113132333n<++++⨯⨯⨯L222211111()3123n=++++L 221511()343n =+++L 22111111()1(1)(1)211nn n n n n <==---+-+Q （*∈≥N n n ,3）15111111111111[()()()()]34224235246211n S n n ∴<+-+-+-++--+L )]1113121(2145[31+--++=n n )111(6195++-=n n 95< 又953111<==a S , 21221155332129S a a =+≤+=<⨯,∴综上所述：对一切*N n ∈，都有n S ＜95。