概率论与数理统计作业及解答概率论与数理统计作业及解答第一次作业★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB AC BC =U U 或;AB AC BC =U U或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++(和A B +即并A B U ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B U 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.221M mM C C --或1122(21)(1)m M m m MC C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率.A ={8只鞋子均不成双},B ={恰有2只鞋子成双},C ={恰有4只鞋子成双}.61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414872616()80()0.5594,143C C C P B C === 2212862616()30()0.2098.143C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求:(1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率.(1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392C C C == 5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求: (1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率.(1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4},9=(2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5},9=或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45}1.99=-=6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率.记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}.(1) 253101();12C P A C ==(2) 243101().20C P B C ==7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次,求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}.311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8()1(),9P D P B =-=3328(),327P E ==311(),327P F ==2()2().27P G P A ==☆.某班n 个男生m 个女生(m ≤n +1)随机排成一列, 计算任意两女生均不相邻的概率.☆.在[0, 1]线段上任取两点将线段截成三段, 计算三段可组成三角形的概率. 14第二次作业1. 设A , B 为随机事件, P (A )=0.92, P (B )=0.93, (|)0.85P B A =, 求:(1)(|)P A B , (2)()P A B ∪. (1)()()0.85(|),()0.850.080.068,()10.92P AB P AB P B A P AB P A ====⨯=-()()()()()()P AB P A P AB P A P B P AB =-=-+0.920.930.0680.058,=-+=()0.058(|)0.83.()10.93P AB P A B P B ===-(2)()()()()P A B P A P B P AB =+-U 0.920.930.8620.988.=+-=2. 投两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率. 记事件A ={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B ={(1,6),(6,1)}.21(|).63P B A ==★.在1—2000中任取一整数, 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率. 记事件A ={能被5除尽}, B ={能被7除尽}.4001(),20005P A ==取整2000285,7⎡⎤=⎢⎥⎣⎦28557(),2000400P B ==200057,57⎡⎤=⎢⎥⨯⎣⎦57(),2000P AB = ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+U U1575710.686.54002000=--+=3. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B )、P (B |A )、P (A B ).()1/103(|),()7/1514P AB P A B P B ===()1/103(|),()4/158P AB P B A P A ===()()()()P A B P A P B P AB =+-U 47119.15151030=+-=4. 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2,若第一次落下未摔破,第二次落下时摔破的概率是7/10,若前二次落下未摔破,第三次落下时摔破的概率是9/10,试求落下三次而未摔破的概率．记事件i A ={第i 次落下时摔破},1,2,3.i =1231213121793()()(|)(|)111.21010200P A A A P A P A A P A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. 设在n 张彩票中有一张奖券,有3个人参加抽奖,分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．记事件i A ={第i 个人摸到奖券},1,2,3.i =由古典概率直接得1231()()().P A P A P A n ===或212121111()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n-====-31231213121211()()()(|)(|).12n n P A P A A A P A P A A P A A A n n n n--====--或 第一个人中奖概率为11(),P A n=前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n +=+=解得21(),P A n=前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n ++=++=解得31().P A n=6. 甲、乙两人射击, 甲击中的概率为0.8, 乙击中的概率为0.7, 两人同时射击, 假定中靶与否是独立的.求(1)两人都中靶的概率; (2)甲中乙不中的概率; (3)甲不中乙中的概率. 记事件A ={甲中靶},B ={乙中靶}.(1) ()()()0.70.70.56,P AB P A P B ==⨯=(2) ()()()0.80.560.24,P AB P A P AB =-=-= (3)()()()0.70.560.14.P AB P B P AB =-=-=★7. 袋中有a 个红球, b 个黑球, 有放回从袋中摸球, 计算以下事件的概率: (1)A ={在n 次摸球中有k 次摸到红球}; (2)B ={第k 次首次摸到红球};(3)C ={第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}.(1) ();()k n kk n kk k n nna b a b P A C C a b a b a b --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(2) 11();()k k kb a ab P B a b a b a b --⎛⎫== ⎪+++⎝⎭(3) 1111().()rk rr k rr r k k ka b a b P C C Ca b a b a b ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭8.一射手对一目标独立地射击4次, 已知他至少命中一次的概率为80.81求该射手射击一次命中目标的概率.设射击一次命中目标的概率为,1.p q p =-4801121,,1.818133q q p q =-===-= 9. 设某种高射炮命中目标的概率为0.6, 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标.(10.6)10.99,n -<-0.40.01,n <由50.40.01024,=60.40.01,<得 6.n ≥ ☆.证明一般加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nn n n i i i i j ij ki i i i ji j kP A P A P A A P A A A P A -===<<<=-+++-∑∑∑U LI证明 只需证分块111,,k k n k i i i i i i A A A A A A +⊂L L L 只计算1次概率．(1,,n i i L 是1,,n L 的一个排列,1,2,,.k n =L )分块概率重数为1,,k i i A A L 中任取1个-任取2个1(1)k -++-L 任取k 个,即121(1)1k k k k k C C C --++-=⇔L121(1)(11)0.k k k k k k C C C -+++-=-=L将,U I 互换可得对偶加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nnn n i i i i j ijk i i i i ji j kP A P A P A A P A AA P A -===<<<=-+++-∑∑∑IU U U L U☆.证明 若A , B 独立, A , C 独立, 则A , B ∪C 独立的充要条件是A , BC 独立.证明(())()()()()P A B C P AB AC P AB P AC P ABC ==+-U U ()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- 充分性:⇐(())()()()()(),P A B C P A P B P A P C P ABC =+-U 代入()()()P ABC P A P BC = ()(()()())P A P B P C P BC =+-()(),P A P B C =U 即,A B C U 独立. 必要性:⇒(())()()P A B C P A P B C =U U ()(()()())P A P B P C P BC =+-()()()()()()P A P B P A P C P A P BC =+-()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- ()()(),P ABC P A P BC =即,A BC 独立.☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立． 证明 因为[()]()()()()()()()()()()()[()()()()]()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC P A P C P B P C P A P B P C P A P B P A P B P C P A B P C ==+-=+-=+-=U U U[()]()()()()[()()]()()()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C P AB P C ==== [()]()()()()()()()()[()()]()()()P A B C P AC B P AC P ABC P A P C P A P B P C P A P AB P C P A B P C -=-=-=-=-=-所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业1. 在做一道有4个答案的选择题时, 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测. 设他知道问题的正确答案的概率为p , 分别就p =0.6和p =0.3两种情形求下列事件概率: (1)学生答对该选择题; (2)已知学生答对了选择题,求学生确实知道正确答案的概率. 记事件A ={知道问题正确答案},B ={答对选择题}.(1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+113,444p pp -=+=+当0.6p =时,13130.67()0.7,444410p P B ⨯=+=+== 当0.3p =时,13130.319()0.475.444440p P B ⨯=+=+==(2) 由贝叶斯公式得()4(|),13()1344P AB p pP A B p P B p ===++当0.6p =时,440.66(|),13130.67p P A B p ⨯===++⨯ 当0.3p =时,440.312(|).13130.319p P A B p ⨯===++⨯ 2. 某单位同时装有两种报警系统A 与B , 当报警系统A 单独使用时, 其有效的概率为0.70; 当报警系统B 单独使用时, 其有效的概率为0.80.在报警系统A 有效的条件下, 报警系统B 有效的概率为0.84.计算以下概率: (1)两种报警系统都有效的概率; (2)在报警系统B 有效的条件下, 报警系统A 有效的概率; (3)两种报警系统都失灵的概率.()0.7,()0.8,(|)0.84.P A P B P B A ===(1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A ==⨯=(2) ()0.588(|)0.735,()0.8P AB P A B P B === (3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+U U10.70.80.5880.088.=--+=☆.为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B . 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0. 92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85,. 求: (1)发生意外时, 两个报警系统至少有一个有效的概率; (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率.3. 设有甲、乙两袋, 甲袋中有n 只白球, m 只红球; 乙袋中有N 只白球, M 只红球. 从甲袋中任取一球放入乙袋, 在从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率是多少. 记事件A ={从甲袋中取到白球},B ={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+111n N m Nn m N M n m N M +=+++++++().()(1)n N n m n m N M ++=+++☆.设有五个袋子, 其中两个袋子, 每袋有2个白球, 3个黑球. 另外两个袋子, 每袋有1个白球, 4个黑球, 还有一个袋子有4个白球, 1个黑球. (1)从五个袋子中任挑一袋, 并从这袋中任取一球, 求此球为白球的概率. (2)从不同的三个袋中任挑一袋, 并由其中任取一球, 结果是白球, 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？★4. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号 “·” 及 “-”. 由于通信系统受到于扰, 当发出信号 “·” 时, 收报台分别以概率0.8及0.2收到信息 “·” 及 “-”; 又当发出信号 “-” 时, 收报台分别以概率0.9及0.l 收到信号 “-” 及 “·”. 求: (1)收报台收到 “·”的概率;(2)收报台收到“-”的概率;(3)当收报台收到 “·” 时, 发报台确系发出信号 “·” 的概率;(4)收到 “-” 时, 确系发出 “-” 的概率.记事件B ={收到信号 “·”},1A ={发出信号 “·”},2A ={发出信号“-”}.(1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=⨯+-⨯= (2) ()1()10.520.48;P B P B =-=-=(3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.60.8120.923;0.5213⨯=== (4)2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.40.930.75.0.484⨯=== 5. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品合格率为90%, 而机器发生某一故障时, 产品合格率为30%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为75%. (1)求机器产品合格率,(2)已知某日早上第一件产品是合格品, 求机器调整良好的概率. 记事件B ={产品合格},A ={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+0.750.90.250.30.75,=⨯+⨯=(2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B ==0.750.90.9.0.75⨯== ☆.系统(A), (B), (C)图如下, 系统(A), (B)由4个元件组成, 系统(C)由5个元件组成, 每个元件的可靠性为p , 即元件正常工作的概率为p , 试求整个系统的可靠性.(A) (B) (C) 记事件A ={元件5正常},B ={系统正常}.(A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p =---=-+ (B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p =---=- (C) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+2222(44)(1)(2)p p p p p p p =⋅-++-- 23452252.p p p p =+-+第四次作业1. 在15个同型零件中有2个次品, 从中任取3个, 以X 表示取出的次品的个数, 求X 的分布律.2213315(),0,1,2.k k C C P X k k C -=== X0 1 2 P 22/35 12/35 1/35☆.经销一批水果, 第一天售出的概率是0.5, 每公斤获利8元, 第二天售出的概率是0.4, 每公斤获利5元, 第三天售出的概率是0.1, 每公斤亏损3元. 求经销这批水果每公斤赢利X 的概率分布律和分布函数.0,3,(3)(3)0.1,35,()(5)(3)(5)0.10.40.5,58,(8)1,8.x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩2. 抛掷一枚不均匀的硬币, 每次出现正面的概率为2/3, 连续抛掷8次, 以X 表示出现正面的次数, 求X 的分布律.(8,2/3),X B n p ==:8821(),0,1,,8.33k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L3. 一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35, 以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数, 写出X 的分布律, 并计算X 取偶数的概率.(0.35),X G p =:11()0.350.65,1,2.k k P X k pq k --===⨯=L ()+()=1,()()=,P X P X P X P X q ⎧⎪⎨⎪⎩奇偶偶奇 解得0.6513()=0.394.110.6533q P X q ==++B 偶 4. 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机, 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1,求在同一时刻:(1)恰有2个刷卡机被使用的概率;(2)至少有3个刷卡机被使用的概率; (3)至多有3个刷卡机被使用的概率;(4)至少有一个刷卡机被使用的概率. 在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p ==:(1) 2224(2)0.10.90.00486,P X C ==⨯⨯= (2) 3344(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C ≥==+==⨯⨯+= (3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X ≤=-==-=(4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P X P X ≥=-==-=-=5. 某汽车从起点驶出时有40名乘客, 设沿途共有4个停靠站, 且该车只下不上. 每个乘客在每个站下车的概率相等, 并且相互独立, 试求: (1)全在终点站下车的概率; (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率; (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率. 记事件A ={任一乘客在终点站下车},乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p ==:(1) 40231(40)8.271810,4P X -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭(2) 403940140313433(2)1(0)(1)1144434P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.0001340880.999865912.=-=(3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车},乘客在后两站下车人数(40,1/2).Y B n p ==:2020202040404011(20)0.1268.222C P Y C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(精确值)应用斯特林公式!,nn n e ⎫⎪⎭2020202040404011(20)222C P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24040!(20!)2=402204040202e e ⎫⎪⎝⎭⎫⎫⎪⎪⎪⎭⎭B0.1262.=B其中 1.7724538509.π==参:贝努利分布的正态近似.6. 已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002, 有2000件瓷器运到, 求: (1)恰有2个受损的概率; (2)小于2个受损的概率; (3)多于2个受损的概率; (4)至少有1个受损的概率. 受损瓷器件数(2000,0.002),X B n p ==:近似为泊松分布(4).P n p λ=⨯=(1) 2441480.146525,2!P e e --=== (2) 4424150.0915782,1!P e e --⎛⎫=+== ⎪⎝⎭(3) 431211130.761897,P P P e-=--=-= (4) 4410.981684.P e -=-=7. 某产品表面上疵点的个数X 服从参数为1.2的泊松分布, 规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品, 求产品的合格品率.产品合格品率2 1.2 1.21.2 1.212.920.879487.1!2!P e e --⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭★8. 设随机变量X求:X 的分布函数, (||5).X ≤ 随机变量X 的分布函数为0,3,(3)(3)0.2,35,()(5)(3)(5)0.20.50.7,58,(8)1,8.x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩(36)(5)0.5,P X P X <≤===(1)(5)(8)0.50.30.8,P X P X P X >==+==+=(5)(||5)(5)(3)(5)0.20.50.7,P X P X F P X P X ≤=≤===-+==+=第五次作业1. 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位: 小时), 其密度函数是2,00.5()0,kx x x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他试求: (1)系数k ; (2)X 的分布函数; (3)在15分钟内完成一道作业的概率; (4)在10到20分钟之间完成一道作业的概率. (1) 0.50.52320111(0.5),21,32248kk F kx xdx x x k ⎛⎫==+=+=+= ⎪⎝⎭⎰(2) 23200,01()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.x x F x P X x x xdx x x x F x <⎧⎪⎪=≤=+=+≤<⎨⎪=≥⎪⎩⎰(3) 322011119()2170.140625,442464x F P X x x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰(4) 3212316111111129217.6336424108P X F F x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤=-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰2. 设连续型随机变量X 服从区间[-a , a ](a >0)上的均匀分布, 且已知概率1(1)3P X >=, 求: (1)常数a ; (2)概率1()3P X <.(1) 1111(1),3,223aa P X dx a a a ->====⎰(2) 13311115()3.36639P X dx -⎛⎫<==+= ⎪⎝⎭⎰3. 设某元件的寿命X 服从参数为θ 的指数分布, 且已知概率P (X >50)=e -4, 试求:(1)参数θ 的值; (2)概率P (25<X <100) .补分布()()|,0.x x xx xS x P X x e dx e ex θθθθ+∞--+∞->==-=>⎰@ (1) 504502(50)(50),0.08,25x S P X e dx e e θθθθ+∞---=>=====⎰(2) 由()(),,0,rxr S rx e S x r x θ-==>取50,x =依次令1,2,2r =得12282(25)(25)(50),(100)(100)(50)S P X S e S P X S e --=>===>==0.0003354563,=其中 2.7182818284.e B28(25100)(25)(100)P X P X P X e e --<<=>->=- 0.135334650.00033545630.1349991937.=-= 4. 某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为1800的指数分布, 求: (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率; (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率.(1) 1312008002(1200)0.2231301602,P X ee-⨯->===1.6487212707001.= (2) 932(1200)0.0111089965.P X e->==5. 设X ~N (0, 1), 求: P (X <0.61), P (-2.62<X <1.25), P (X ≥1.34), P (|X |>2.13). (1) (0.61)(0.61)0.72907,P X <=Φ=(2) ( 2.62 1.25)(1.25)( 2.62)(1.25)(2.62)1P X -<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-0.894359956010.88995,=+-=(3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X >=-Φ=-=(4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X >=-Φ=-⨯=6. 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (4,19). 设飞机上午10: 10从甲地起飞, 求: (1)飞机下午2: 30以后到达乙地的概率; (2)飞机下午2: 10以前到达乙地的概率; (3)飞机在下午1: 40至2: 20之间到达乙地的概率.(1) 131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2) (4)(0)0.5,P X <=Φ=(3) 72525/647/24261/31/3P X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13122⎛⎫⎛⎫=Φ+Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.691460.9331910.62465.=+-=★7. 设某校高三女学生的身高X ~N (162, 25), 求: (1)从中任取1个女学生, 求其身高超过165的概率; (2)从中任取1个女学生, 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率; (3)从中任取6个女学生, 求其中至少有2个身高超过165的概率.(1) 162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55X P X P --⎛⎫>=>==-Φ=-=⎪⎝⎭ (2) 162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5X P X P ⎛-⎫-<=<=Φ-=⨯-= ⎪⎝⎭(3) 记事件A ={任一女生身高超过165}, ()(165)0.2742,p P A P X ==>= 随机变量Y :贝努利分布(6,0.2742),B n p ==6156(2)1(0)(1)1(1)(1)0.52257.P Y P Y P Y p C p p ≥=-=-==----=第六次作业★1.设随机变量X 的分布律为(1)求Y =|X |的分布律; (2)求Y =X 2+X 的分布律. (1)(2)★.X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =是连续型变量,密度为(())|()|,()(),()0,XY f x y x y g x y g x f y αβ'=<<=⎧=⎨⎩极小值极大值其它.证明 1)若()0,x x y ''=>{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≤()()(()())()(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≤= 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=<<2)若()0,x x y ''=<{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≥()()(()())()1(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≥=- 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=-<<因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y αβ'=<< 或证明()(),()0,()()(()())()1(),()0,X Y XP X x F x g x F y P Y y P g X g x P X x F x g x '≤=>⎧=≤=≤=⎨'≥=-<⎩ 两边对y 求导,(),()(),X Y X dF x dxdx dyf y dF x dx dx dy ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩或两边微分()(),()()()(),X X Y Y X XdF x f x dx dF y f y dy dF x f x dx =⎧==⎨-=-⎩(),()(),X Y X dx f x dy f y dxf x dy ⎧⎪=⎨-⎪⎩(())|()|,.X f x y x y y αβ'=<<2. 设随机变量X 的密度函数是f X (x ), 求下列随机变量函数的密度函数: (1)Y =tan X ; (2)1Y X=; (3)Y =|X |. (1) 反函数()arctan ,x y y ='21(),1x y y =+由连续型随机变量函数的密度公式得'21()(())|()|(arctan ).1Y X Xf y f x y x y f y y ==+ 或 反函数支()arctan ,i x y i y i π=+为整数，'21(),1i x y y =+ '21()(())|()|(arctan ).1Y X i iX i i f y f x y x y f i y y π+∞+∞=-∞=-∞==++∑∑(2) 1,X Y =反函数1,y x y ='211()()().Y X y y X f y f x x f y y==(3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y =≤=≤=-≤≤=--. 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f y f y f y y =+->★3. 设随机变量X ~U [-2, 2], 求Y =4X 2-1的密度函数.2()()(41)(115,Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=≤≤=-≤≤两边对y 求导得随机变量Y 的密度为()115.Y f y y =-≤≤ 或解反函数支12()()x y x y =='''112211()(())|()|(())|()|2(())()115.Y X X X f y f x y x y f x y x y f x y x y y =+==-≤≤★4. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布, 求Y =X 2的密度函数(Weibull 分布). 当0y ≤时, 2Y X =的分布()0Y F y =,当0y >时,2()()()(Y X F y P Y y P X y P X F =≤=≤=≤= 两边对y 求导得()Y X f y f '==0,()0.Y y f y >=⎩或反函数y x='()()0.Y X y y f y f x x y ==>★5. 设随机变量X~N (0, 1), 求(1)Y =e X 的密度函数; (2)Y =X 2的密度函数(Gamma 分布). (1) 当0y ≤时, e X Y =的分布()0Y F y =,当0y >时,()()(e )(ln )(ln ),X Y F y P Y y P y P X y y =≤=≤=≤=Φ 因而Y 的密度为''1()(ln )(ln )(ln )(ln ),Y f y y y y y y ϕϕ=Φ=={}2(ln ),0,2()0.Y y y f y ->=⎩ 或 反函数ln ,X Y =ln ,y x y ='1()()(ln )Y y y f y x x y y ϕϕ=={}2(ln ),0.2y y =-> (2) 当0y ≤时,()0Y F y =;当0Y >时,2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤=-.两边对y 求导得Y的密度函数为2,0,()0.yY y f y ->=⎩或反函数支12()()x y x y ==''21122()(())|()|(())|()|,0.yY X X f y f x y x y f x y x y y -=+=> 6. 设随机变量X 的密度函数是21,1()0,1X x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩, 求Y =ln X 的概率密度. 反函数,y y x e ='()()(),0.y y y Y X y y X f y f x x f e e e y -===>第七次作业☆.将8个球随机地丢入编号为1, 2, 3, 4, 5的五个盒子中去, 设X 为落入1号盒的球的个数, Y 为落入2号盒的球的个数, 试求X 和Y 的联合分布律.1. 袋中装有标上号码1, 2, 2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球,. 以X , Y 分别记第一、二次取到球上的号码数, 求: (1)(X , Y )的联合分布律(设袋中各球被取机会相等); (2)X , Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立？ (1)(X , Y )的联合分布律为(1,1)0,P X Y ===1(1,2)(2,1)(2,2).3P X Y P X Y P X Y =========(2) X , Y 的分布律相同,12(1),(2).33P X P X ====(3) X 与Y 不独立.2. 设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0,(,)0,.x y e e x y F x y --⎧-->=⎨⎩其它求(,)X Y 联合密度.2(,)(,),f x y F x y x y ∂=∂∂3515,,0,(,)0,.x y e x y f x y --⎧>=⎨⎩其它★3. 设二维随机变量(X , Y )服从D 上的均匀分布, 其中D 是抛物线y =x 2和x =y 2所围成的区域, 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数, 并判断Y X ,是否独立.分布区域面积213123200211,333x S x dx x x ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰联合密度213,1,(,)0,.x y f x y S ⎧=<<<⎪=⎨⎪⎩其它边缘X的密度为22()),01,X x f x dy x x ==<<边缘Y的密度为22()),0 1.Y y f y dy y y ==<<(,)()(),X Y f x y f x f y ≠⋅因此X 与Y 不独立.或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立.4. 设二维离散型变量),(Y X问,p q 取何值时X 与Y两行成比例1/151/52,1/53/103q p ===解得12,.1015p q ==★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0,(,)0,.y Ax e x y f x y -⎧-<<>=⎨⎩其它求:(1)常数A ;(2)概率1(0,1);2P X Y <<>(3)边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (4)X 与Y 是否相互独立？(1) 2220()(,),11,y y X f x f x y dy Ax e dy Axe dy Ax x +∞+∞+∞--====-<<⎰⎰⎰112112()1,3X f x dx Ax dx A --===⎰⎰3.2A = (2) 112201113(0,1)(0)(1).22216y e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰ (3) 23(),11,2X f x x x =-<<111221113()(,),0.2y y y Y f y f x y dx Ax e dx e x dx e y ------====>⎰⎰⎰(4)由23,11,0()()(,),20,yX Y x e x y f x f y f x y -⎧-<<>⎪⋅==⎨⎪⎩其它得X 与Y 独立. 或因为2(,),11,0,y f x y Ax e x y -=-<<>可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y -=>2(),11,X f x Ax x =-<<112112()1,3X f x dx Ax dx A --===⎰⎰3.2A = 112201113(0,1)(0)(1).22216y e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰6. 设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它.且,X Y 独立.求:(1)X 的密度;(2) (,)X Y 的联合密度. (1)X 的密度为()5,00.2,X f x x =≤≤(2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0,(,)0,y e x y f x y -⎧≤≤>=⎨⎩其它.第八次作业★1.求函数(1)Z 1=X +Y , (2) Z 2=min{X , Y }, (3) Z 3=max{X , Y }的分布律.(1) 11(0)(0),6P Z P X Y =====1111(1)(0,1)(1,0),362P Z P X Y P X Y ====+===+=1111(2)(0,2)(1,1),12126P Z P X Y P X Y ====+===+=11(3)(1,2).6P Z P X Y =====(2) 2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y ====+===+=223(0)1(1).4P Z P Z ==-==(3) 31(0)(0),6P Z P X Y =====31117(1)(0,1)(1,1)(1,0),312612P Z P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=3111(2)(0,2)(1,2).1264P Z P X Y P X Y ====+===+=2. 设随机变量(求函数Z =X /Y 的分布律.(/1)(1)(1)0.250.250.5,P Z X Y P X Y P X Y =====+==-=+= (/1)1(/1)0.5.P Z X Y P Z X Y ==-=-===3. 设X 与Y 相互独立, 概率密度分别为220()00,xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩0()00,y Y e y f y x -⎧>=⎨≤⎩ 试求Z =X +Y 的概率密度.()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰20222(1),0.z zx z x z x z z e e dx e e dx e e z --+----===->⎰⎰★4. 设X ~U (0, 1), Y ~E (1), 且X 与Y 独立, 求函数Z =X +Y 的密度函数.,01,0,(,)0,y e x y f x y -⎧<<>=⎨⎩其它,当01z <≤时,()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰01,zz z x z xz x e dx e e -+-+-====-⎰当1z >时,11110()(,)()().zz x z xz z Z X Y x f z f x z x dx f x f z x dx e dx e e e -+-+--==-=-===-⎰⎰⎰因此11,01,(),1,0,.z z z Z e z f z e e z ---⎧-≤≤⎪=->⎨⎪⎩其它★5. 设随机变量(X , Y )的概率密度为()101,0(,)10x y e x y f x y e -+-⎧⎪<<<<+∞=⎨-⎪⎩其它(1)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (2)求函数U =max (X , Y )的分布函数; (3)求函数V =min(X , Y )的分布函数.(1) 1,01,()10,x X e x f x e --⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它.,0,()0,yY e y f y -⎧>=⎨⎩其它. (2) 11000,0,1()(),01,111,1x xx x X X x e e F x f x dx dx x e e x ----≤⎧⎪-⎪===<<⎨--⎪≥⎪⎩⎰⎰.min{,1}10,0,1,01x x e x e --≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩. 0,0,()1,0Y yy F y e y -≤⎧=⎨->⎩.21(1),01,()()()11,1x U X Y x e x F x F x F x e e x ---⎧-<<⎪==-⎨⎪-≥⎩. min{,1}1(1)(1),0.1x x e e x e -----=>- (3) 111,0,()1(),01,10,1x X X x e eS x F x x e x ---≤⎧⎪-⎪-=<<⎨-⎪≥⎪⎩@.min{,1}111,0,,01x x e e x e ---≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩. 1,0,()1(),0Y Y yy S y F y e y -≤⎧-=⎨>⎩@.112111()11,01,()1()()111,1x x x xV X Y e e e e e e x F x S x S x e e x ---------⎧---+-=<<⎪=-=--⎨⎪≥⎩. 1min{,1}111,01x x x e e e x e --------+=>-.6. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.随机变量2(160,20),X N :180160(180)(1)0.84134,20P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭没有一只寿命小于180小时的概率为444(180)(1(1))(10.84134)0.00063368.P X >=-Φ=-=第九次作业★1.试求: E (X ), E (X 2+5), E (|X |).20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i iEX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑22(5)57.2,E X EX +=+=||||20.110.210.320.130.1 1.2.i i iE X x p ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑2. 设随机变量X 的概率密度为0 0,() 01, 1.x x f x x x Ae x -⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩求: (1)常数A ; (2)X 的数学期望.(1) 1100111(),2x f x dx xdx Ae dx Ae +∞+∞--==+=+⎰⎰⎰,2e A =(2) 12100114()2.2323x e e EX xf x dx x dx xe dx e +∞+∞--==+=+⨯=⎰⎰⎰★3. 设球的直径D 在[a , b ]上均匀分布,试求: (1)球的表面积的数学期望(表面积2D π);(2)球的体积的数学期望(体积316D π). (1) 22222()();3bax E D ED dx a ab b b a ππππ===++-⎰(2) 33322()().6624b a x E D ED dx a b a b b a ππππ⎛⎫===++ ⎪-⎝⎭⎰ ★4.求E (X ), E (Y ), E (XY ).2(0.10.050.050.1)2(0.10.150.050.1)i i iEX x p ==-⨯++++⨯+++∑g20.320.350.1,=-⨯+⨯=1(0.10.050.1)2(0.050.15)j j jEY y p ==⨯+++⨯+∑g3(0.050.10.05)4(0.10.20.05) 2.65,+⨯+++⨯++=,()i j i j ijE XY x y p =∑∑2(10.120.0530.0540.01)2(10.120.1530.0540.05)=-⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯ 1.5 1.50.=-+=★5. 设随机变量X 和Y 独立, 且具有概率密度为2,01,()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它,3(1)3,1,()0,1.y Y e y f y y --⎧>=⎨≤⎩ (1)求(25)E X Y +; (2)求2()E X Y .(1) 112002()2,3X EX xf x dx x dx ===⎰⎰3(1)114()3,3y Y EY yf y dy ye dy +∞+∞--===⎰⎰或随机变量1Z Y =-:指数分布(3),E 141,,33EZ EY EY =-==24(25)25258.33E X Y EX EY +=+=⨯+⨯=(2) 11223001()2,2X EX x f x dx x dx ===⎰⎰由X 和Y 独立得22142().233E X Y EX EY ==⨯=第十次作业1. 设离散型随机变量试求: (1) D (X ); (2) D (-3X +2) .(1) 20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i iEX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222.20.4 2.04.DX EX E X =-=-= (2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D X DX -+=-=⨯=★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02,()0,Ax x x f x ⎧+<<=⎨⎩其他，试求: (1)常数A ; (2)E (X ); (3) D (X ); (4) D (2X -3) .(1) 22081()(2)4,3f x dx Ax x dx A +∞-∞==+=+⎰⎰解得9.8A =-(2) 22095()(2).86EX xf x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰(3) 22222094()(2),85EX x f x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰2224519.56180DX EX E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭(4) 21919(23)24.18045D X DX -==⨯=★3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他，试求: (1),X Y 的协方差和相关系数A ; (2)(21).D X Y -+(1) 103()(,)(2),01,2X f x f x y dy x y dy x x +∞-∞==--=-<<⎰⎰由,x y 的对称性3(),0 1.2Y f y y y =-<<1035(),212X EX xf x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰12222031(),24X EX x f x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰2221511,412144DX EX E X DY ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭11001()(,)(2),6E XY xyf x y dydx xy x y dydx +∞+∞-∞-∞==--=⎰⎰⎰⎰ 因此2151(,)(),612144Cov X Y E XY EXEY ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭,1.11X Y ρ==-(2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y +=++得(21)(2)()2(2,)D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-+-22592(1)22(1)(,).144DX DY Cov X Y =+-+⨯⨯-⨯=★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律试求,,,EX DX EY DY 以及X 和Y 的相关系数. (1) X 的分布列为由变量X 分布对称得0,EX =或10.4500.4510.450,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=g22222(1)0.4500.4510.450.9,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑g 220.9.DX EX E X =-=(2) Y 的分布列为(,)X Y 取值关于原点中心对称由变量Y 分布对称得0,EY =或20.20.250.2520.20,j j iEY y p ==-⨯-++⨯=∑g222222(2)0.2(1)0.2510.2520.2 2.1,j j iEY y p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯=∑g22 2.1.DY EY E Y =-=(3) 由二维变量(,)X Y 的联合分布列关于两坐标轴对称得,()0,i j i j ijE XY x y p ==∑∑(,)()0,Cov X Y E XY EXEY =-=因此,0.X Y ρ==5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布(2)P ,随机变量Y 服从区间(0,6)上的均匀分布(0,6),U 且,X Y 的相关系数,X Y ρ=记2,Z X Y =-求,.EZ DZ (1) 2,EX =063,2EY +==(2)2223 4.EZ E X Y EX EY =-=-=-⨯=-(2) 2(60)2, 3.12DX DY -===由,X Y ρ==得(,)1,Cov X Y = 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DY Cov X Y +=++得2(2)(2)2(,2)(2)4(,)10.DZ D X Y DX D Y Cov X Y DX DY Cov X Y =-=+-+-=+--=第十一次作业★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大: 掷1000次均匀硬币, 出现正面的次数在400到600次之间.出现正面的次数~(1000,0.5),X B n p ==10000.5500,EX np ==⨯=10000.50.5250,DX npq ==⨯⨯=应用切比雪夫不等式,有239(400600)(|500|100)1.10040DX P X P X ≤≤=-≤≥-=2. 若每次射击目标命中的概率为0.1, 不断地对靶进行射击, 求在500次射击中, 击中目标的次数在区间(49, 55)内的概率.击中目标的次数~(500,0.1),X B n p ==5000.150,EX np ==⨯=5000.10.945.DX npq ==⨯⨯= 根据中心极限定理,X 近似服从正态分布(50,45).N EX DX ==(4955)P X P ≤≤=≤≤1315⎛⎫⎛≈Φ-Φ=Φ+Φ- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ (0.74)(0.15)10.77040.559610.33.=Φ+Φ-=+-=★3. 计算器在进行加法时, 将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布, (1)若将1500个数相加, 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.(1) 误差变量,1,2,.i X i =⋅⋅⋅独立同均匀分布(0.5,0.5),X U -:10,.12EX DX ==由独立变量方差的可加性150011500125,12i i D X =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑15001i i X =∑近似(0,125).N :15001||15i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑15001|ii P X =⎧⎪=>=⎨⎪⎪⎩⎭∑2222(1.34)220.90990.1802.≈-Φ=-Φ=-⨯=⎝⎭(2) 1||10n i i P X =⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∑1||n i P X =⎧⎪=<=⎨⎪⎩210.90,⎛≈Φ-≥ ⎝0.95,⎛Φ≥ ⎝1.645,≥2124.4345.1.645n ≤= 因此,最多可有4个数相加,误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.★4. 一个系统由n 个相互独立的部件所组成, 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为0.90. 至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行, 问n 至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于0.95.正常工作的部件数~(,),X B n p 其中0.9.p =0.9,EX np n ==0.09.DX npq n ==(0.8)P X n≥3P ⎛⎫=≥==-⎪⎪⎭0.95,3⎛≈Φ≥ ⎝⎭1.645,24.354.n ≥≥因此n 至少取25.★5. 有一大批电子元件装箱运往外地, 正品率为0.8, 为保证以0.95的概率使箱内正品数多于1000只, 问箱内至少要装多少只元件？正品数~(,),X B n p 其中0.8.p =0.8,EX np n ==0.16.DX npq n ==(1000)P X≥P =≥=0.95,≈Φ≥1.645,0.810000.n≥-≥解得1637.65,n≥因此n至少取1638.★.贝努利分布的正态近似.投掷一枚均匀硬币40次出现正面次数20X=的概率.正面次数(40,1/2),X B n p==:400.520,400.50.510.EX np DX npq==⨯===⨯⨯=离散值20X=近似为连续分组区间19.520.5,X<<(20)(19.520.5)P X P X=<<B0.16P⎫=<=⎪⎭2((0.16)0.5)2(0.56360.5)0.1272.=Φ-=⨯-=第十二次作业★1. 设X1,X2,⋅⋅⋅,X10为来自N(0, 0.32)的一个样本,求概率1021{ 1.44}iiP X=>∑.标准化变量(0,1),1,2, (10)0.3iXN i=:由卡方分布的定义,10222211~(10).0.3iiXχχ==∑10211.44iiP X=⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑10222211 1.44(10)160.1,0.30.3iiP Xχ=⎧⎫==>=≈⎨⎬⎩⎭∑略大,卡方分布上侧分位数20.1(10)15.9872.χ=★2. 设X1,X2,X3,X4,X5是来自正态总体X~(0, 1)容量为5的样本,试求常数c,使得统计量t分布,并求其自由度.由独立正态分布的可加性,12(0,2),X X N+:标准化变量(0,1),U N=:由卡方分布的定义,22222345~(3),X X Xχχ=++U与2χ独立.由t分布的定义,(3),T t===:因此c=自由度为3.★3.设112,,,nX X XL为来自N(μ1,σ2)的样本,212,,,nY Y YL为来自N(μ2,σ2)的样本,且两样本相互独立,2212,S S分别为两个样本方差,222112212(1)(1)2pn S n SSn n-+-=+-.试证明22().pE Sσ=证由221112(1)~(1),n Snχσ--及()211(1)1E n nχ-=-得()2211112(1)(1)1,n SE E n nχσ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭221.ESσ=类似地222.ESσ=222112212(1)(1)2pn S n SES En n⎛⎫-+-= ⎪+-⎝⎭22212121212(1)(1).22n nES ESn n n nσ--=+=+-+-★4.设1,...,nX X为总体2(,)Nμσ的简单样本,样本均值和样本方差依次为2,.X S求满足。