c(k) a1c(k 1) a2c(k 2) L an1c(k n 1) anc(k n) b0r(k) b1r(k 1) L bmr(k m)
n
m
即： c(k) aic(k i) bjr(k j)
i 1
j0
如果ai和bi均为常系数，上式为常系数线性差分 方程。由于m≤n，上式称为n阶线性常系数差分方程。
10
(2)Z变换法求解 给定差分方程后，先用z变换的实数位移定理对
差分方程取z变换，得到z的代数方程，再对代数方程 取z反变换，即得脉冲序列c(k)。
例:差分方程c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0，初始条件： c(0)=0,c(1)=1
解：对上式两边取拉氏变换：
Zc(k 2) z2C(z) z2c(0) zc(1) z2C(z) z
相应后移 k 个采样周期，成为 K[(n k)T] 。
15
线性定常离散系统中，如果输入采样信号为：
r*(t) r(nT ) (t nT )
n0
则系统的输出响应序列为：
c(nT ) K[(n k)T ]r(kT )
k 0
K (kT )r[(n k)T ]
k 0
c(nT) K(nT)*r(nT)
30
(4) 输入端无采样的情况
r(t)
d(t)
d*(t)
C(t)
G1(s)
s
G2(s)
G(z)
C(z) G2(z)D(z) G2(z)G1R(z)
因为输入信号不是独立的，故不能写出 系统的脉冲传递函数，只能写出输出信号的z 变换形式。
31
5、闭环系统脉冲传递函数
(z)
r(t)
e(t)
— b(t)
c(nT ) aic[(n i)T ] bjr[(n j)T ]
i 1
j0
在零初始条件下，对上式进行 z 变换,可得
n
m
C(z) aiC(z)zi bj R(z)z j
i 1
j0
m
G(z)
C(z) R(z)
bk zk
k 0
n
1 ak zk
k 1
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3、脉冲函数的求法
(1)由定义求； (2)求连续部分的传递函数：
将输入序列 r(n), n 0, 1, 2,L , 变换 为输出序列 c(n) 的一种变换关系，称为 离散系统。记作
c(n) F(r(n)) 线性离散系统； 线性定常离散系统；
4
2. 线性常系数差分方程及其解法
1）与差分方程有关的几个概念 (1) 差分：两个系统相邻采样点信息之间的差值，即
差分，近似于微商的概念。 (2) 差分的阶：取差分时，采样点间信号变化率的不C*(s) Nhomakorabeas1
G(s)
s2
G(z)
R*(s)
G(s)
s1
C(s) s2
G(z)
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(2) 脉冲传递函数的意义
对于线性定常离散系统，如果输入为单位序列：
r(nT
)
(nT
)
1, 0,
n=0 n0
则系统输出称为单位脉冲响应序列：
c(nT) K(nT)
当输入脉冲序列沿时间轴后移 k 个采样周
期，成为 [(n k)T] 时，输出单位脉冲响应也
二阶后向差分：
2en en en1 e(n) 2e(n 1) e(n 2)
在自动控制系统中，由于差分的对象是采 样控制系统，具有因果关系，即当前时刻的数据 与历史时刻的数据联系密切。因此经常采用的是 后向差分，前向差分应用较少。我们讨论的也主 要是后向差分。
7
2）差分方程
与连续系统的微分方程相类似，离散系统的输入输出的关系可与采样时刻及历史时刻的输入和输出都 有关系，其一般的表达式为：
Z3c(k 1) 3zC(z) 3zc(0) 3zC(z) Z2c(k) 2C(z)
11
所以上式变为：
z2C(z) 3zC(z) 2C(z) z
z
zz
C(z)
z2
3z
2
z
1
z
2
c*(t) (1)n (2)n (t nT ) n0
或c(k) (1)k (2)k , K 0,1, 2,L
G(
z)
Z[G1
(s)G2
(s)]
Z
a s(s
a)
z(1 eaT ) (z 1)(z eaT ) G1G2 (z)
可见 G1(z)G2(z)≠G1G2(z) ,但二者不同之处只表 现在零点上，极点却是一样的，这是离散系统的 特有现象。
27
(3)有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数
r(t)
令 l
jks )
nk
1 T
G[s
n
j(n
k)s ]
G*(s
jks )
1 T
G(s
l
jls )
G*(s
jks )
1 T
G(s
n
jns )
G*(s)
22
[G(s)E*(s)]* G*(s)E*(s)
证明：
[G(s)E* (s)]*
1 T
[G(s
n
jns )E*(s
jns )]
由 E* (s jns ) E*(s)
(eT
T 1)z (1 TeT (z 1)(z eT )
eT
)
上图没有零阶保持器时，
11
z
z
Z[Gp (s)]
Z[ s
s
] 1
z
1
z
eT
(z
z(1 eT ) 1)(z eT
)
可见有无零阶保持器系统的脉冲传递函 数，二者的极点完全相同，只是零点不同。 即零阶保持器不影响离散系统脉冲传递函数 的极点。这是离散系统的一个特点。
它在数学上代表一个线性定常离散系统。
8
3）差分方程的求解
差分方程的求解也有经典法，但用起来十分不便。 工程上常用的两种方法：迭代法和z变换法。
(1) 迭代法 根据给定的差分方程与输出序列的初始条件，
就可以用递推关系，一步一步求出输出序列。该过 程可由计算机来完成。 例: 差分方程c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)，初始条
Gh(z)
R(z)
Gp(s)
解：
Gp (s) s
1 s2 (s 1)
1 s2
1 s
1 s 1
c(t) C(z)
Z[Gp (s)] Tz z z
s
(z 1)2 z 1 z eT
z[(eT
T 1)z (1 TeT (z 1)2 (z eT )
eT
)]
29
G(z)
(1
z
1
)Z
G
p (s) s
所以 G(z)= C(z)/R(z)= G1(z)G2(z) 结论：环节间有采样开关的几个环节串联时，其脉冲
传递函数G(z)为各环节脉冲传递函数之积。
25
2) 两个串联环节间无采样开关
r*(t) r(t)
G1(s) R(z)
G2(s)
C*(t) C(z) C(t)
G(z)
由传函定义：
G(z)=C(z)/R(z) =z[G1(s)G2(s)]=G1G2(z) 结论：中间没有采样开关的几个环节串联时，
16
若令加权序列的 z 变换
K(z) K(nT )zn
n0
则由z 变换的卷积定理：
C(z) K(z)R(z)
G(z) K(z) K(nT )zn
n0
脉冲传递函数的含义：
系统脉冲传递函数G(z)，等于系统 加权序列 K(nT) 的 z 变换。
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如果描述线性定常离散系统的差分方程为
n
m
G(s)→g(t)→g*(t)→z[g*(t)] →G(z)， G(z)=z[G*(s)]=G*(s)|s=(1/T)lnz 例: c(nT)=r[(n-k)T],求G(z) 解：两边取 z 变换：C(z)=z-kR(z) 所以G(z)=z-k 它代表离散系统中有k个延迟环节，它把输
入序列延迟k个采样周期后输出。
前向差分：n时刻各阶差分的获得依赖于n时刻 及未来时刻n+1,n+2…数据
一阶前向差分： en e(n 1) e(n)
二阶前向差分：
2en en1 en e(n 2) 2e(n 1) e(n)
6
后向差分：n时刻各阶差分的获得依赖于n时刻及历 史时刻n-1,n-2…数据
一阶后向差分： en e(n) e(n 1)
同称为差分的阶
一阶差分： en e(n) e(n 1)
二阶差分：2en en en1 e(n) e(n 1) e(n 1) e(n 2)
e(n) 2e(n 1) e(n 2)
m阶差分：men m1en m1en1
5
…
(3) 差分的方向：设当前采样时刻为n，根据当前 时刻的差分与相邻的数据间的依赖关系，可 把差分分为前向差分和后向差分。
[G(s) E* (s)]*
1 T
[G(s
n
jns )E*(s)]
E*(s) 1 T
G(s
n
jns )
G*(s)E*(s)
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(2)有串联环节时的开环系统脉冲传递函数
求串联环节的脉冲传递函数与求连续函数 串联环节不完全相同，即使组成离散系统的 环节完全相同，但由于采样开关的数目和位 置不同，G(z) 也会截然不同。
r*(t)
(1-e-Ts)/s
C(t) G(s)
G(z)
1 eTs
G(z) Z