2020二次函数一、选择题1. （2020•广东，第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A ．函数有最小值B．对称轴是直线x =C ．当x ＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．故选D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．2. （2020•广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（）A ．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象． 分析：先根据二次函数的图象得到a ＞0，b ＜0，c ＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置． 解答： 解：∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x =﹣＞0， ∴b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴c ＜0，∴一次函数y =cx +的图象过第二、三、四象限，反比例函数y =分布在第二、四象限．故选B ．点评： 本题考查了二次函数的图象：二次函数y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；当a ＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x =﹣；与y 轴的交点坐标为（0，c ）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．3．(2020年四川资阳，第10题3分)二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a +c ＜2b ；③3b +2c ＜0；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个 D ．1个考点： 二次函数图象与系数的关系．分析： 利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．4．(2020年天津市，第12 题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B． 1 C． 2 D． 3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．解答：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x=﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选D．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．5．（2020•新疆，第6题5分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A ． 开口向下B ． 对称轴是x =﹣1C ． 顶点坐标是（1，2）D ． 与x 轴有两个交点考点：二次函数的性质． 专题：常规题型． 分析： 根据抛物线的性质由a =1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x =1，从而可判断抛物线与x 轴没有公共点．解答： 解：二次函数y =（x ﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴没有公共点． 故选C ．点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点式为y =a （x ﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x =﹣b 2a ，当a ＞0时，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向上，当a ＜0时，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向下．6．（2020•舟山，第10题3分）当﹣2≤x ≤1时，二次函数y =﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ） A ． ﹣ B．或 C ．2或D ．2或﹣或考点：二次函数的最值 专题：分类讨论． 分析：根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可． 解答： 解：二次函数的对称轴为直线x =m ， ①m ＜﹣2时，x =﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m ）2+m 2+1=4，解得m =﹣，与m ＜﹣2矛盾，故m 值不存在； ②当﹣2≤m ≤1时，x =m 时，二次函数有最大值， 此时，m 2+1=4，解得m =﹣，m =（舍去）；③当m ＞1时，x =1时，二次函数有最大值， 此时，﹣（1﹣m ）2+m 2+1=4， 解得m =2，综上所述，m 的值为2或﹣．故选C．点评：本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．7.（2020•毕节地区，第11题3分）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（）A ．开口向下B．对称轴是y轴C ．都有最低点D．y随x的增大而减小考点：二次函数的性质分析：根据二次函数的性质解题．解答：解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；（2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；（3）y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．故选B．点评：考查二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k的性质．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．8.（2020•孝感，第12题3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A ．1个B ． 2个C ． 3个D ．4个考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点 专题：数形结合．分析： 由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac ＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x =﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x =1时，y ＜0，则a +b +c ＜0；由抛物线的顶点为D （﹣1，2）得a ﹣b +c =2，由抛物线的对称轴为直线x =﹣=1得b =2a ，所以c ﹣a =2；根据二次函数的最大值问题，当x =﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x =1时，ax 2+bx +c =2，所以说方程ax 2+bx +c ﹣2=0有两个相等的实数根．解解：∵抛物线与x 轴有两个交点，答： ∴b 2﹣4ac ＞0，所以①错误；∵顶点为D （﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x =﹣1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x =1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D （﹣1，2），∴a ﹣b +c =2，∵抛物线的对称轴为直线x =﹣=1，∴b =2a ，∴a ﹣2a +c =2，即c ﹣a =2，所以③正确；∵当x =﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x =1时，ax 2+bx +c =2，∴方程ax 2+bx +c ﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确． 故选C ．点评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x =﹣；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．9．（2020·台湾，第26题3分）已知a、h、k为三数，且二次函数y＝a(x﹣h)2＋k在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？( )A．1 B．3 C．5 D．7分析：先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x＝h，由于抛物线过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则点(0，5)到对称轴的距离大于点(10，8)到对称轴的距离，所以h﹣0＞10﹣h，然后解不等式后进行判断．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，而(0，5)、(10，8)两点在抛物线上，∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0，c)；抛物线与x轴交点个数由△决定，△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．（2020·浙江金华，第9题4分）如图是二次函数2=-++的图象，使y1≤成立的x的取值范围是【】y x2x4A．1x3≤-C．x1≥-≤≤B．x1D．x1≤-或x3≥【答案】D．【解析】试题分析：由图象可知，当y1≤时，x1≤-或x3≥. 故选D．考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.数形结合思想的应用11．（2020•浙江宁波，第12题4分）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）∴a+2=0，b﹣1=0，解得a=﹣2，b=1，∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4，2﹣4ab=2﹣4×（﹣2）×1=10，∴点A的坐标为（﹣4，10），∵对称轴为直线x=﹣=﹣2，∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）．故选D．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，坐标与图形的变化﹣对称，把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键．12.（2020•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF 重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A ．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：数形结合．分析：分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．解答：解：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2﹣x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，∴y=，故选A．13.（2020•济宁，第8题3分）“如果二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A ．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜nD．m＜a＜n＜b考点：抛物线与x轴的交点．分依题意画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）图象草图，根据二次函析： 数的增减性求解．解答： 解：依题意，画出函数y =（x ﹣a ）（x ﹣b ）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为a ，b （a ＜b ）．方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0转化为（x ﹣a ）（x ﹣b ）=1，方程的两根是抛物线y =（x ﹣a ）（x ﹣b ）与直线y =1的两个交点． 由m ＜n ，可知对称轴左侧交点横坐标为m ，右侧为n ． 由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随x 增大而减少，则有m ＜a ；在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，则有b ＜n ．综上所述，可知m ＜a ＜b ＜n ．故选A ．点评：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．14．（2020年山东泰安，第17题3分）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n 与反比例函数y=的图象可能是（）A．B C D．分析：根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．解：由图可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），反比例函数y=的图象位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．15.（2020年山东泰安，第20题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X﹣1 0 1 3y﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解：由图表中数据可得出：x=1时，y=5值最大，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x ==1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．16.（2020•滨州，第9题3分）下列函数中，图象经过原点的是（）A ．y=3x B．y=1﹣2x C．y=D．y=x2﹣1考点：二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征分析：将点（0，0）依次代入下列选项的函数解析式进行一一验证即可．解答：解：∵函数的图象经过原点，∴点（0，0）满足函数的关系式；A、当x=0时，y=3×0=0，即y=0，∴点（0，0）满足函数的关系式y=3x；故本选项正确；B、当x=0时，y=1﹣2×0=1，即y=1，∴点（0，0）不满足函数的关系式y=1﹣2x；故本选项错误；C、y=的图象是双曲线，不经过原点；故本选项错误；D、当x=0时，y=02﹣1=﹣1，即y=﹣1，∴点（0，0）不满足函数的关系式y=x2﹣1；故本选项错误；故选A．点评：本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例图象上的点的坐标特征．经过函数图象上的某点，该点一定满足该函数的解析式．二.填空题1. （2020•安徽省,第12题5分）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= a（1+x）2．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．解答：解：∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．点评：此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．2．(2020年云南，第16题3分)抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解答：解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．3．（2020•浙江湖州，第16题4分）已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a ＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即不大于2.5，然后列出不等式求解即可．解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b ＜c，∴a最小是2，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜2.5，解得m＞﹣．故答案为：m＞﹣．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系，判断出a 最小可以取2以及对称轴的位置是解题的关键．4. （2020•株洲，第16题，3分）如果函数y =（a ﹣1）x 2+3x +的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a 的取值范围是 a ＜﹣5 ．考点：抛物线与x 轴的交点分析： 函数图象经过四个象限，需满足3个条件：（I ）函数是二次函数；（II ）二次函数与x 轴有两个交点；（III ）二次函数与y 轴的正半轴相交．解答： 解：函数图象经过四个象限，需满足3个条件： （I ）函数是二次函数．因此a ﹣1≠0，即a ≠1①（II ）二次函数与x 轴有两个交点．因此△=9﹣4（a ﹣1）=﹣4a ﹣11＞0，解得a ＜﹣②（III ）二次函数与y 轴的正半轴相交．因此＞0，解得a ＞1或a ＜﹣5③综合①②③式，可得：a ＜﹣5．故答案为：a ＜﹣5．点评： 本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与x 轴的交点、二次函数与y 轴交点等知识点，解题关键是确定“函数图象经过四个象限”所满足的条件．5. （2020年江苏南京，第16题，2分）已知二次函数y =ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表： x… ﹣1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 则当y ＜5时，x 的取值范围是 ．考点：二次函数与不等式分析：根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x =4时，y =5，然后写出y ＜5时，x 的取值范围即可．解答：由表可知，二次函数的对称轴为直线x =2，所以，x =4时，y =5，所以，y ＜5时，x 的取值范围为0＜x ＜4．故答案为：0＜x ＜4．点评：本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y =5的另一个x 的值是解题的关键．6. （2020•扬州，第16题，3分）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y 轴的直线，若点P （4，0）在该抛物线上，则4a ﹣2b +c 的值为 0 ．（第3题图）考点：抛物线与x 轴的交点分析： 依据抛物线的对称性求得与x 轴的另一个交点，代入解析式即可．解答： 解：设抛物线与x 轴的另一个交点是Q ，∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x 轴的一个交点是P （4，0），∴与x 轴的另一个交点Q （﹣2，0），把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a ﹣2b +c ，∴4a ﹣2b +c =0，故答案为：0．点本题考查了抛物线的对称性，知道与x 轴的一个交点和评：对称轴，能够表示出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键．7．（2020•菏泽，第12题3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C 两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= _______．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．解答：解：设设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2=a，解得x=，∴点B（，a），=a，则x=，∴点C（，a），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y1=2=3a，∴点D的坐标为（，3a），∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，∴=3a，∴x=3，∴点E的坐标为（3，3a），∴DE=3﹣，==3﹣．故答案为：3﹣．点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．8. （2020•珠海，第9题4分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为直线x=2 ．考点：二次函数的性质分析： 点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点的横坐标可求对称轴． 解答： 解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，∴这两点一定关于对称轴对称，∴对称轴是：x ==2．故答案为：直线x =2．点评： 本题主要考查了抛物线的对称性，图象上两点的纵坐标相同，则这两点一定关于对称轴对称．三.解答题1. （ 2020•安徽省,第22题12分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x 的二次函数y 1=2x 2﹣4mx +2m 2+1和y 2=ax 2+bx +5，其中y 1的图象经过点A （1，1），若y 1+y 2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．考点：二次函数的性质；二次函数的最值．专题：新定义．分析：（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．解答：解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0﹣1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．点评：本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．2. （ 2020•福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y =a （x ﹣h ）2+的图象经过原点O （0，0），A （2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′，试判断点A ′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化－旋转．分析： （1）由于抛物线过点O （0，0），A （2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x =1；（2）作A ′B ⊥x 轴与B ，先根据旋转的性质得OA ′=OA =2，∠A ′OA =2，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB =OA ′=1，A ′B =OB =，则A ′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A ′为抛物线y =﹣（x ﹣1）2+的顶点．解答： 解：（1）∵二次函数y =a （x ﹣h ）2+的图象经过原点O （0，0），A （2，0）．∴抛物线的对称轴为直线x =1；（2）点A ′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A ′B ⊥x 轴于点B ，∵线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′，∴OA ′=OA =2，∠A ′OA =2，在Rt △A ′OB 中，∠OA ′B =30°，∴OB =OA ′=1，∴A ′B =OB =，∴A ′点的坐标为（1，），∴点A ′为抛物线y =﹣（x ﹣1）2+的顶点．点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x =﹣，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象具有如下性质：①当a ＞0时，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向上，x ＜﹣时，y 随x 的增大而减小；x ＞﹣时，y 随x 的增大而增大；x =﹣时，y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a ＜0时，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．3. （2020•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．①判断四边形DECF一定是什么形状？②裁剪当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．考四边形综合题点：分析： （1）①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，②根据△ADF ∽△ABC 推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出h 与x 之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S 关于h 的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s 最大时h 的值．（2）第一步，沿∠ABC 的对角线对折，使C 与C 1重合，得到三角形ABB 1，第二步，沿B 1对折，使DA 1⊥BB 1． 解答：新 课 标 解：（1）①∵DE ∥AC ，DF ∥BC ，∴四边形DECF 是平行四边形．②作AG ⊥BC ，交BC 于G ，交DF 于H ，∵∠ACB =45°，AC =24cm∴AG ==12，设DF =EC =x ，平行四边形的高为h ，则AH =12h ，∵DF ∥BC ， ∴=， ∵BC =20cm ， 即：=∴x =×20， ∵S =xh =x •×20=20h ﹣h 2． ∴﹣=﹣=6， ∵AH =12，∴AF =FC ，∴在AC 中点处剪四边形DECF ，能使它的面积最大．（2）第一步，沿∠ABC 的对角线对折，使C 与C 1重合，得到三角形ABB 1，第二步，沿B 1对折，使DA 1⊥BB 1． 理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论．4. （ 2020•广东，第25题9分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC =10cm ，AD =8cm ．点P 从点B 出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．。