2021年中考数学专题复习：锐角三角函数及其应用一、选择题1. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D .则sin ∠ADC 的值为 （ ）A.21313B.31313 C. 23D.323. 如图，平面直角坐标系中，☉P 经过三点A (8，0)，O (0，0)，B (0，6)，点D 是☉P 上的一动点，当点D 到弦OB 的距离最大时，tan ∠BOD 的值是 ( )A .2B .3C .4D .54. 如图，点A,B,C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（ ）A.62B.2626C.1326D.13135. 如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于（ ）A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx6. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为()A.11－sinαB.11＋sinαC.11－cosαD.11＋cosα7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos BAC的值为（）A.55B.55C.12D.32二、填空题9. 如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6 m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约为m(精确到0.1 m).(参考数据:sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)10. 如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD 是__________米(结果精确到0.1m ．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．11. 齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的边缘光线AB ，AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A 与地面的距离为1 m ，则该车大灯照亮的宽度BC 是________m ．(不考虑其他因素，参考数据：sin 8°＝425，tan 8°＝17，sin 10°＝910，tan 10°＝528)12.如图，已知AB 是O的直径，BC 与O相切于点B ，连接AC ，OC ．若1sin 3BAC ∠=，则tan BOC ∠=________．CBOA13. 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝40°，∠E ＝140°，AB ＝EF ＝5，BC ＝DE ＝8，则这两个三角形面积的大小关系为S △ABC________S △DEF (填“＞”或“＝”或“＜”)．14. 如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC255AB2，则tanC=__________．15. 在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝36，CD＝1,则BC的长为.16. 如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l 上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝________．三、解答题17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求:(1)线段BE的长;(2)∠ECB的正切值.18. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB的长为6米，∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB).求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)19. 已知：如图，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D.在Rt△ABD中，sin∠B＝ADc，则AD＝c sin∠B；在Rt△ACD中，sin∠C＝________，则AD＝________．所以c sin∠B＝b sin∠C，即bsin B＝csin C，进一步即得正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C.(此定理适合任意锐角三角形)．参照利用正弦定理解答下题：在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．20. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβtan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanα tanβ利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题：(1)计算sin15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B B D A B B29. 9.5 10. 1.5 11. 1.4 12.213. ＝14. 515. 5或7 16. 3或3 3 或37三、解答题17. 解:(1)∵AD=2CD，AC=3，∴AD=2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，∴∠A=∠B=45°，AB===3，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴AE=AD·cos45°=2×=，∴BE=AB-AE=3=2，即线段BE的长为2.(2)过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示.∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，∴EH=BH=BE·cos45°=2=2，∵BC=3，∴CH=1，在Rt△CHE中，tan∠ECB==2，即∠ECB的正切值为2.18. 解:连接CO并延长，交AB于点D，∴CD⊥AB，且D为AB中点，所求运行轨道的最高点C 到弦AB 所在直线的距离即为线段CD 的长.在Rt △AOD 中，∵AD=AB=3，∠OAD=41.3°， ∴OD=AD ·tan41.3°≈3×0.88=2.64，OA=≈=4，∴CD=CO +OD=AO +OD=4+2.64=6.64(米).答:运行轨道的最高点C 到弦AB 所在直线的距离约为6.64米.19. 解：∵sin C ＝AD AC ＝AD b ，∴AD ＝b sin C由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ， ∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°，(5分) ∴2sin 60°＝AB sin 45°， ∴AB ＝2×22÷32＝263. 20. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24.(4分) (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，t an ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋ 3 ∴ BE ＝14＋7 3又∵AE＝DC＝3，∴AB＝BE＋AE＝14＋73＋3＝14＋83(米) 答：纪念碑的高度是(14＋83)米。