精品文档第一讲 函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。

2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数： f ( x) f ( x) ，图像关于原点对称。

偶函数： f ( x)f ( x) ，图像关于 y 轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设 α，β是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则（ 1）若 limα0 ，则 α是比 β高阶的无穷小量。

β（ 2）若 lim α c （不为 αβ 0），则与 β是同阶无穷小量特别地，若limα 1α β，则 与是等价无穷小量β（ 3）若 lim αα ββ，则与是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于 0 的速度快，谁就趋向于0 的本领高。

4、两个重要极限（ 1） limsin xlimx 1x 0xxsin x使用方法：拼凑limsinlimsin0 ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致1x1（ 2） lim1lim (1 x) xexxx1 lim (1)e使用方法 1 后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

a, nm5、 limP nxb 0 0, n mxQ mX, n m精品文档P n x 的最高次幂是n,Q m x 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。

n m ,以相同的比例趋向于无穷大；n m ，分母以更快的速度趋向于无穷大；n m ，分子以更快的速度趋向于无穷大。

7、左右极限左极限：lim f ( x)Ax x0右极限：lim f ( x)Ax x0lim f ( x)A充分必要条件是lim f ( x) lim f ( x) Ax x0x x0x x0注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。

8、连续、间断连续的定义： lim y lim f (x0x) f ( x0 ) 0x0x 0或 lim f (x) f ( x0 )x x0无法成立的三种情况间断：使得连续定义lim f ( x) f ( x0 )x x0f (x0 )不存在， f ( x0 )无意义lim f ( x)不存在x x0lim f ( x) f ( x0 )x x0记忆方法： 1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等9、间断点类型（ 1）、第二类间断点：lim f ( x) 、 lim f ( x) 至少有一个不存在x x0x x0（ 2）、第一类间断点：lim f ( x) 、 lim f ( x) 都存在x x0x x0可去间断点：lim f ( x)lim f (x)x x0x x0跳跃间断点：lim f ( x)lim f (x)x x0x x0注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去” ，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质（ 1）最值定理：如果 f ( x) 在 a,b 上连续，则f (x) 在 a, b 上必有最大值最小值。

（ 2）零点定理：如果 f (x) 在 a,b 上连续，且 f ( a) f (b) 0 ，则 f (x) 在 a,b内至少存在一点，使得 f ( )0第三讲中值定理及导数的应用1、罗尔定理如果函数y f (x) 满足：（1）在闭区间a, b上连续；（ 2）在开区间（a,b）内可导；（3） f (a) f (b) ，则在 (a,b)内至少存在一点，使得记忆方法：脑海里记着一幅图：a b2、拉格朗日定理如果 y f ( x) 满足（1）在闭区间 a,b 上连续（ 2）在开区间（ a,b）内可导；则在 (a,b)内至少存在一点，使得 f ( )f (b) f (a)b a脑海里记着一幅图：a b（ * ）推论 1 ：如果函数y f (x) 在闭区间a,b 上连续，在开区间（a,b）内可导，且 f (x)0 ，那么在 (a, b) 内 f ( x) =C恒为常数。

记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。

（*）推论2：如果 f (x), g( x) 在a, b上连续，在开区间(a,b) 内可导，且 f ( x)g ( x), x(a,b) ，那么 f ( x) g( x) c记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等满足 f ( x) 0 的点，称为函数 f (x) 的驻点。

几何意义：切线斜率为0 的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设 f ( x) 在点 x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有f ( x) f ( x0 ) ，则称 f ( x0 ) 为函数f (x) 的极大值， x0称为极大值点。

设 f (x) 在点 x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有f ( x) f (x0 ) ，则称 f ( x0 ) 为函数f (x) 的极小值， x0称为极小值点。

记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。

5、拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。

注 y x3在原点即是拐点6、单调性的判定定理设 f (x) 在 (a,b) 内可导，如果 f ( x)0 ，则 f (x) 在 ( a,b) 内单调增加；如果 f ( x)0 ，则 f ( x) 在 (a,b) 内单调减少。

记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，7、取得极值的必要条件f(x)0 ；f( x)0 ；可导函数 f ( x) 在点 x0处取得极值的必要条件是 f ( x0 )08、取得极值的充分条件第一充分条件：设 f (x) 在点 x0的某空心邻域内可导，且 f (x) 在 x0处连续，则（ 1）如果x x0时， f(x)0;x,那么f (x)在x0处取得极大值 f ( x0 ) ；x 时， f (x)（ 2）如果 x x0时， f(x)0； x x0时， f (x)0 ，那么 f (x)在x0处取得极小值 f ( x0 ) ；（ 3）如果在点 x0的两侧， f(x)同号，那么 f ( x) 在 x0处没有取得极值；记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。

第二充分条件：设函数 f (x) 在点 x 0 的某邻域内具有一阶、二阶导数，且f ( x 0 ) 0， f ( x 0 )则 （1）如果 f ( x 0 )0 ，那么 f (x) 在 x 0 处取得极大值 f ( x 0 ) ；（2）如果 f ( x 0 )0 ，那么 f (x) 在 x 0 处取得极小值 f ( x 0 )9、 凹凸性的判定设函数 f (x) 在 (a,b) 内具有二阶导数， （ 1）如果 f ( x) 0, x ( a,b) ，那么曲线 f (x) 在 ( a,b) 内凹的；（2）如果 f ( x) 0, x ( a,b) ，那么 f (x) 在 (a,b) 内凸的。

图像表现：凹的表现凸的表现10、渐近线的概念曲线 f ( x) 在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。

（ 1） 水平渐近线：若 lim f ( x)A ,则 yf (x) 有水平渐近线 y Ax(2) 垂直渐近线：若存在点x 0 ， lim f ( x)，则 yf (x) 有垂直渐近线 x x 0x（ 2） 求斜渐近线：若lim f ( x), lim ( )xxafx ax b ，则 y ax b 为其斜渐近线。

x11、罗比达法则遇到“” 、“”，就分子分母分别求导，直至求出极限。

如果遇到幂指函数，需用 f ( x)e lnf ( x)把函数变成“0”、“”。

第二讲导数与微分1、导数的定义（ 1）、f( x0 )lim y lim f ( x0x) f ( x0 )0x 0x0（ 2）、f( x0 )lim f (x0h) f (x0 )h 0h（3）、 f (x0 )lim f (x) f (x0 )x x0x x0注：使用时务必保证x0后面和分母保持一致，不一致就拼凑。

2、导数几何意义： f ( x0)在x x0处切线斜率法线表示垂直于切线，法线斜率与 f ( x0 ) 乘积为—13、导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。

4、求导方法总结（1）、导数的四则运算法则u v u v(u v) u v v uu u v v uv v2（ 2）、复合函数求导：y f x 是由 y f (u) 与 u(x) 复合而成，则dy dy dudx du dx（ 3）、隐函数求导对于 F ( x, y) 0 ，遇到y，把y当成中间变量u，然后利用复合函数求导方法。

精品文档（ 4）、参数方程求导x(t) f ( x)，则dy dy(t )确定一可导函数 y dt设(t )y dx dx(t )dtdy d ( dy)d 2 y d ()dxdx dtdx2dx dxdt(5)、对数求导法先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导（ 6）、幂指函数求导幂指函数 y u(x)v( x)，利用公式a e ln aln u ( x )v ( x )e v( x ) ln u ( x )y e然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。

第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导注：优选选择第二种方法。

5、高阶导数对函数 f ( x) 多次求导，直至求出。

6、微分dy y dx记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加7、可微、可导、连续之间的关系可微可导可导连续，但连续不一定可导dx，不需要单独记忆。

8、可导与连续的区别。

脑海里记忆两幅图（1）（ 2）y x2在x=0既连续又可导。

y x 在x=0只连续但不可导。

第四讲不定积分一、原函数与不定积分1、原函数：若F ( x) f ( x) ，则 F ( x) 为 f (x) 的一个原函数；2、不定积分： f (x) 的所有原函数 F ( x) +C叫做 f ( x) 的不定积分，记作 f (x)dx F ( x)C二、不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、2、f (x)dx f (x)或d f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x) c注：求导与求不定积分互为逆运算。

四、积分方法1、基本积分公式2、第一换元积分法（凑微分法）把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。

3、第二换元积分法ax b,令t ax ba2x2令 x a sin t三角代换x2a2令x a sectx2a2令x a tan t三角代换主要使用两个三角公式：sin 2 t cos2 t 1, 1 tan2 t sec2 t4、分部积分法udv uv vdu第五讲定积分1、定积分定义b nf ( i )x iaf (x) dx limx0 i1如果 f ( x) 在 a,b上连续，则 f (x) 在 a, b 上一定可积。