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材料力学刘鸿文第六版全部整合教案整编能量方法


1 2 FN Dl
FN 2l 2EA
x dx q(x)·dx
略去高阶微量,认为dx只承受FN (x)
dV
1 2
FN
(
x
)d
Dl
FN 2( )dx 2EA
FN(x)
FN(x)+dFN (x)
dx
V
l dV
FN 2( x )dx l 2EA
2、扭转
T=me
l
加载过程中始终有
me me
Tl
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
F 2 L2
2EI 2EI 6EI
B L
F
⑶ 当F和Me分别作用时
A Me
V 1
MeL 2EI
V 2
F 2 L3 6EI
V1 V 2 V
⑷ 求载荷所作的功
wA
(wA)F
(wA)Me
FL3 3EI
A l
F
B
C
a
解:
FRA
Me l
-
Fa l
Me
B
FRB
F(l + l
a)
-
Me l
A x1
FRA
l
AB:
M1( x1 )
(Me l
-
Fa l ) x1
-
Me
FRB
M1( x1 F
)
-
a l
x1
M1( x1 ) x1 - 1
求自由端B的挠度。
F
A
B
l
x
W
1 2
F
wB
解: M (x) -F x
V
l
M 2 (x) dx 2EI
F 2l3 6EI
由V W,得
wB
Fl 3 3EI
例题:悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩 Me作用。设EI为常数,试求梁的应变能。
B L
解: ⑴ 弯矩方程
F
A
M (x) Me Fx
例:互等定理求上图悬臂梁中点C处的铅垂位
移DC 。
wC1
B2
F
解:由功的互等定理F wC1 M B2
F
l
2
得:F wC1 M
2 2EI
由此得:
wC1
Ml 2 8EI
例:互等定理求图示简支梁C截面的挠度。
F
B2
wC1
解:由功的互等定理F wC1 M B2
得:F
wC1
M
Fl 2 16E I
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用,任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时,线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态,因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
第十三章 能量方法
§13.1 概述 §13.2 杆件应变能的计算 §13.3 应变能的普通表达式 §13.4 互等定理 §13.5 卡式定理 §13.6 虚功原理 §13.5 单位载荷法 莫尔积分 §13.6 计算莫尔积分的图乘法
§13.1 概述
回顾:前面学习了哪些求变形(位移)的方法? 拉压变形 ——作图法 弯曲变形 ——积分法、叠加法
wA
F
C A L/2 L/2
wC=?
2 :
V
2
L 2 0
( F x)2 2 2EI
dx
F 2L3 96EI
W
1 2
FwC
V
W
wC
FL3 48EI
B
卡式定理
V F
FL3 48EI
wC
说明:
(1)卡氏第二定理只适用于线性弹性体
δi
Vε Fi
(2)Fi 为广义力,i为相应的位移
一个力
一个力偶
一对力
Dl AB
P2l1 EA
P1保持不变,作功为
V 2
P1
P2l1 EA
P2作功为
V 3
P22( l1 l2 2EA
)
总功为:
V
P12l1 2EA
P1
P2l1 EA
P22 (l1 l2 ) 2EA
先施加P2
V1
P22( l1 l2 2EA
)
再施加P1
AB又伸长
Dl AB
P1l1 EA
P2保持不变,作功为
它于和的弯剪数矩力值对的和变影截形响面的。形影l M状响2E2有,Ix关故 d。在x 矩计形算换这k=成类6/杆5;件l圆M的2形Ey2变Ikxy形=1d时0x/,9。l通M2常Ez2 I不xz 计dx轴力
变形能的应用
1.计算变形能
2.利用功能原理计算变形(位移)
例:试求图示悬臂梁的应变能,并利用功能原理
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下: 剪力对变形的影响很小,剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点:
(1)基本变形的应变能通式:
1
V
W
F 2
M e L2 2EI
A
( A ) F
( A ) Me
FL2 2EI
MeL EI
V
W
1 2
FwA
1 2
M
e A
F 2L3 6EI
MeF2 2EI
M
2 e
L
2EI
§13-4 互等定理
功能原理求图示悬臂梁中点B处的转角θB 。
思考:求上图悬臂梁中点C处的铅垂位移 DC。
基本概念
12
F1
11
21
F2
由此得:wC1
Ml2 16E I
Fk
123
A
B
(a)
Ak
(b) k
1 2 3
F1
F2 F3
B
例 (a)中Fk=10KN时,1、2、3点的 挠度分别为 1 1mm, 2 0.8mm,
3 0.5mm, 若(b)中1、2、3点作用
荷载F1=50KN, F2=40KN,F3=20KN,
求k点的挠度?
V 2
P2
P1l1 EA
P1作功为
V 3
P12l1 2EA
(5)应变能是可逆的。(跳板跳水) 总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例 利用能量法求解时,所列
例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
a
P
b
解: 1)求反力
b
a
RA l P RB l P
A x1
RA
C l
B x2
若F1 = F2 ,则得 12 21
位移互等定理
即: F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移,等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
(反力互等定理, 反力位移互等定理)
说明:
(1) 互等定理只适用于线弹性结构;
(2) 互等定理中的力与位移应理解为广义力和相 应的广义位移。则位移互等定理中的相同大小的 力为数值相同,位移相同也仅代表数值相同(量 纲对应)。 (3)这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下, 只是由变形引起的位移.
T (x)Fs(x)

FN2 (x) dx l 2EA(x)
T 2(x) dx
l 2GIp (x)
M 2(x) dx
l 2EI (x)
kFs2 (x) dx l 2GA(x)
对若k于是杆双用件向来及弯修杆曲正系,横的弯力变矩弯形沿曲是形时以心切弯主应曲轴力变分不形解沿为, 截主面的均,匀因分轴布力的和修剪正力系远数小,
2)
弯矩方程
AC段:M(x1
)
=
RA
x1
=
b l
Px1
RB
( 0 ≤x1 ≤ a)
3) 由功能原理
CB段: M(x2
)
=
RB x2
=
a l
Px2
1
2 PyC
M 2( x)dx l 2EI
=
1 2EI
ab 0 l
Px1
2
dx1
+
b 0
a l
Px2
2
dx2
(
0
≤x2≤
b)
只分适析用:yC于VV结P3构aEW2l上IbMl2有22(12结E一xPI果)y个dCx大6载EP于I荷2l2零,b,求2a说3载明荷a2作位b3 用移点的P6沿2方Ea载2I向bl 2荷与方力向的的方位向移一。致。
(c) 弯曲
δi
Vε Fi
Fi
M 2( x)dx 2EI
M ( x) M ( x)dx EI Fi
(4) 平面桁架
δi
Vε Fi
n FNjl j FNj j1 EA Fi
(5) 组合变形
δi
Vε Fi
[ FN2 ( x )dx T 2 ( x )dx M 2 ( x )dx ]
内力2 l 2刚度
F-广义力泛指力或力偶矩;
-广义位移为线位移或角位移;
(2)应变能的数值恒为正值;
(3)应变能为载荷的二次函数,同种类型荷载的变形能不能 简单叠加。
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