动态几何中的定值问题动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。
这类问题中就有一类是定值问题，下面通过例题来探究这类问题的解答方法。
【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角 边AB=AC=1，P 是斜边BC 上的一动点，过P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则 PE+PF= 。
方法1：特殊值法：把P 点放在特殊的B 点或C 点或BC 中点。
此种方法只适合小题。
方法2：等量转化法：这是绝大部分同学能够想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE 。
方法3：等面积法：连接AP ，ABC ABP APC S S S AB AC AB PE AC PF ∆∆∆=+⇒⋅=⋅+⋅AB PE PF ⇒=+总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗？不难，在解决过程中（方法2抓住了边长AB的不变性和PE,PF 与BE,AE 的不变关系；方法3抓住了面积的不变性），使得问题迎刃而解。
设计：大部分学生都能想到方法2，若其他两种方法学生没有想到，也不要深究，更不要自己讲掉。
此题可叫差生或中等偏下的学生回答。
（设计意图：由简到难，让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。
）过渡：这道题太简单了，因为等腰直角三角形太特殊了，我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形，问题有没有变化，又该如何解决？请看：【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为等腰三角形，且两腰AB=AC=5，底边BC=6， 过P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则 PE+PF 还是定值吗？若是，是多少？若不是，为什么? 方法1：三角形相似进行量的转化ABM PBE PCF ∆∆∆ ,AM PE PF AM PB AM PC PE PF AB PB PC AB AB⋅⋅⇒==⇒== ()462455AM PB PC AM BC PE PF AB AB +⋅⋅⇒+==== （板书） （M 为BC 中点）（解题要点：等腰三角形中，底边上的中线是常作的辅助线，抓住这条线的长度是不变量这个特点，建立PE,PF 与AM 之间的联系，化动为静）方法2：等面积法：ABC ABP APC S S S BC AM AB PE AC PF ∆∆∆=+⇒⋅=⋅+⋅642455BC AM PE PF AB ⋅⋅⇒+===（M 为BC 中点） （板书） （解题要点：抓住三角形面积是个不变量，用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。
）(若学生想不到，可提示：在此题中，不变的东西是什么？不变的这个量和变量PE,PF 之间有什么联系，能不能用一个等式来表示？学生会三角形的边长，角度，周长，面积等都是不变量。
（设计意图：由特殊到一般，引出求垂线段长度的常用方法：等面积法）（教师行为：出示题之后，让学生做，教师下去看。
叫用方法1的同学先站起来回答，然后再叫用方法2的同学。
以达到过渡到下一题的目的。
）问：我把题中的5改为a ，6改为b ，PE+PF 还是定值吗？你能求出这个定值吗？答：是定值，求解方法不变。
问：由这题，你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗？结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=b h a⋅(a 为腰长,b 为底边长,h 为的边上的高)（等面积法可以求解，注意当顶角为钝角的情况）（设计意图：培养学生探究的精神，养成勤总结的习惯）问题：通过前面几题，你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么？应该注意什么问题？答：不要被"动"、"变"迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到不变量或不变关系，找到解题的途径。
在解题过程中要注意点或线在运动的过程中，是否需要讨论。
过渡：上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动，有些同学可能还是觉得不够刺激，下面再来一道刺激一点的，让点在一个区域内运动，请看：【变式2】已知P 为边长为a 的等边三角形ABC 内任意一动点， P 到三边的距离分别为h 1,h 2,h 3,则P 到三边的距离之和是否为定值？为什么？ （由上题的启示，学生可能很容易想到等面积法）ABC ABP ACP BCP S S S S BC AM AB PE AC PF BC∆∆∆∆=++⇒⋅=⋅+⋅+⋅PE PF PD AM ⇒++= 为定值 （M 为BC 中点）（板书） 可以用几何画板度量长度，进行演示（设计意图：使学生更深一步理解等面积法的应用）过渡：研究完了P 在三角形内部运动的情况，我们不防降低对P 点的约束，让这个好动的点P 动到三角形外部去，情况又会有何变化？ 【变式3】已知P 为边长为a 的等边三角形ABC 外任意一点，P 到三边的距离分别为h 1,h 2,h 3,则P 到三边的距离之间有何关系？为什么？图1 图2图3 在几何画板中操作，发现当点P 移出三角形时，h 1＋h 2＋h 3发生改变，那么h 1,h 2,h 3有没有什么一定的关系呢？等面积法还可以用吗？△PAB ，△PBC ，△PAC 的面积有何关系？这三个三角形的面积和不变的三角形ABC 的面积有何关系？CCC（只需讲解一种情况，其它让学生自己去补充）图1：ABC ABP ACP BCP S S S S BC AM AB PE AC PF BC PD ∆∆∆∆=+-⇒⋅=⋅+⋅-⋅PE PF PD AM ⇒+-=为定值 （板书）图2：ABC ACP BCP ABP S S S S BC AM AC PF BC PD AB PE ∆∆∆∆=+-⇒⋅=⋅+⋅-⋅PF PD PE AM ⇒+-=为定值 （只把结论板书）图3：ABC ABP BCP ACP S S S S BC AM AB PE BC PD AC PF ∆∆∆∆=+-⇒⋅=⋅+⋅-⋅PE PD PF AM ⇒+-=为定值 （只把结论板书）图1 图2 图3图1：ABC ACP ABP BCP S S S S BC AM AC PE AB PF BC PD ∆∆∆∆=--⇒⋅=⋅-⋅-⋅PF PE PD AM ⇒--=为定值 （板书）图2：ABC ABP BCP ACP S S S S BC AM AB PE BC PD AC PF ∆∆∆∆=--⇒⋅=⋅-⋅-⋅PE PD PF AM ⇒--=为定值 （只把结论板书）图3：ABC BCP ABP ACP S S S S BC AM BC PD AB PE AC PF ∆∆∆∆=--⇒⋅=⋅-⋅-⋅PD PE PF AM ⇒--=为定值 （只把结论板书）（设计意图：渗透分类讨论思想在平面几何中的应用。
）（教师行为：在几何画板中作出个三角形，填充内部，让学生直观地发现几个三角形之间的面积关系。
）过渡：前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题，下面再看一道以圆为背景的定值问题。
【问题2】 已知：已知弧AB 为120度，在以AB 为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A 、B 两点)，以M 为圆心作圆M 和AB 相切，分别过A ，B 作⊙M 的切线，两条切线相交于点C.求证：∠ACB 有定值，并求出这个定值.分析：问：这个图形中不变的是什么？不变的角是那一个？ 答： 此题中的不变量是弧AB ，因此∠AMB 也是不变量；不变关系是相切。
问：已知直线和圆已经相切，我们会想到什么？C答：连接圆心与切线方法1：问：要证∠ACB有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证∠ACB有定值，只需证∠CAB+∠CBA是定值，只需证∠MAB+∠MBA是定值，只要∠AMB是定值即可。
证明：在△ABC中，∠MAB+∠MBA=180 －∠AMB，∵M是△ABC的内心，∴∠CAB+∠CBA=2(180 －∠AMB).∴∠ACB=180 －（∠CAB+∠CBA）=180 －2(180 －∠AMB)= 2∠AMB－180 ＝60 .∴∠ACB有定值60 .方法2：问：要证∠ACB有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证∠ACB有定值，只需证∠EMF是定值，只需证∠EMD+∠FMD是定值，只要∠AMD+∠BMD即∠AMB是定值即可。
证明：在四边形CEMF中，∠C+∠EMF=180 ，∵M是△ABC的内心，∴∠DMA=∠EMA, ∠FMB=∠DMB，∴∠EMD+∠FMD=2∠AMB =240∴∠EMF=120 ∴∠C =180 -∠EMF=60总结：若要证的不变量比较困难，你可以先找找题中比较容易看出的不变量，然后建立两者之间的联系。
（设计意图：多角度，多方位地研究动态几何中的定值问题，本题以圆为背景，研究角的定值问题。
）过渡：上题是道有关定值的证明题，也就是已经明确方向肯定是定值了，若不是证明题呢？【问题3】（2014•苏州）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．分析：（1）由C在二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到a与c的关系式．（2）求证为定值，一般就是计算出AD、AE的值，然后相比．而求其长，过E、D作x轴的垂线段，进而通过设边长，利用直角三角形性质得方程求解，是求解此类问题的常规思路，如此易得定值．（3）要使线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，且（2）中=，则可考虑若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可．由AD、AE、F点都易固定，且G在x轴的负半轴上，则易得G点大致位置，可连接CF并延长，证明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可．归纳小结：解答动态几何定值探索问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：①先探求定值.它要用题中固有的几何量表示.②再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.结束语：数学因运动不再枯燥，数学因运动而充满活力。
希望同学们能够把握动态几何的解题规律。
【课堂小结】问：这节课我们学习了一类怎么样的问题？用什么方法解决？答：动态几何中的定值问题特点：图形中的某个元素，按某种规律在运动类型：（1）点动（2）线动（3）旋转、平移（4）形变解题思路：不要被"动"、"变"迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到解题的途径。