解析几何中的定值问题1、（2014安徽高考）如图，已知两条抛物线22111222:2(0),:2(0)E y p x p E y p x p =>=>，过点O 的三条直线1l 、2l 和3l . 1l 与1E 和2E 分别交于12,A A 两点,2l 与1E 和2E 分别交于12,B B ，3l 与1E 和2E 分别交于21,C C . 记111222,A B C A B C ∆∆的面积分别为1S 与2S ，求证12S S 的值为定值. 证明：设直线321,,l l l 的方程分别为x k y x k y x k y 321,,===.把直线与抛物线联立求解得：)2,2(),2,2(122122112111k pk p A k p k p A ，)2,2(),2,2(222222212211k pk p B k p k p B ，)2,2(),2,2(322322312311k p k p C k p k p C . 由三角形三顶点坐标面积公式得：))11(1)11(1)11(1()2(323231312121211k k k k k k k k k k k k p S -+-+-＝， ))11(1)11(1)11(1()2(323231312121222k k k k k k k k k k k k p S -+-+-＝， 所以12S S ＝221)(p p 为定值.注：（1）设∆ABC 三顶点的坐标分别为),(),,(),,(332211y x y x y x ，则|)()()()(|231232232231x x y x x y y y x y y x S ABC ---+---=∆;(2) 原解答包含一个重要结论，111222,A B C A B C ∆∆三边对应平行，进而，222111C B A C B A ∽△△，.)(221221p p S S ＝=2、（2007重庆）已知F 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点，在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明||1||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值.证：引入椭圆的极坐标方程，1cos epe ρθ=-.其中e 是椭圆的离心率，p 是相应焦点到准线的距离，θ是极径与极轴的夹角. 设θcos 1||1e epFP -=，则)32cos(1||2πθ+-=e ep FP ,)32cos(1||2πθ--=e ep FP=++||1||1||1321FP FP FP 23)]32cos()32cos([cos 3b a ep e =-+++-πθπθθ为定值.例1、设AB 是过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 右焦点F 的一条弦，P 是椭圆上异于B A ,的任一点，直线PB PA ,分别交椭圆的右准线l 于N M ,两点. 求证：N M ,两点的纵坐标之积为定值，并求该定值.分析：此题若按常规方法设立坐标求解，将会异常困难，不妨从平面几何的角度考虑. 角平分线的性质：如图1，ΔABC 中，若AM 平分∠ABC ，等价于MBCMAB AC =, 同理若AN 平分∠BAC 的外角∠BAD ，等价于NBCNAB AC = .DC图1解：如图2，延长PF 交l 于Q ，延长BA 交l 于C ，连FM ，下证FM 平分∠PFA 的外角∠QFA ，设A ´, P´为A ，P 在l 上的射影，则||||||||||||PF AF P P A A MP AM =''=，所以FM 为∠PFA 的外角平分线，即FM 平分∠QFA ，同理FN 平分∠PFB 的外角（即FN 平分∠QFB ），从而∠MFN =90º. 设l交轴于K ，则2||||||KF KN KM =⋅，从而224b a b y y N M --=⋅为定值.图22、A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一个定点. 过A 任作两条互相垂直的弦AB ，AC . 证明直线BC 通过一个定点.证：我们平移坐标轴，使得A 为原点. 设过A 的已知曲线方程为)1(02121 =+++ey dx y c x a .(1)过原点A ，所以没有常数项. 设直线BC 的方程为 1=+ny mx .则过B ，C 两点的直线AB ，AC 的方程是)2(0))((2121 =++++ny mx ey dx y c x a((2)的左边是的二次齐次式，所以它表示两条过原点A 的直线. 而B ，C 的坐标均适合(2)，所以(2)表示AB ，AC ). 因为AB ，AC 互相垂直，所以(2)作为xy的方程，两根之积为－1，即 0)()(=+++en c dm a ，整理为 )3(1)()(1111 =+-++-c a en c a d m .比较(2)与(3)，得直线BC 经过定点)(1111c a ec ad +-+-，.3、如图, 已知B A ,是圆O : 422=+y x 与x 轴的两个交点, P 为直线4:=x l 上的动点,PB PA ,与圆O 的另一个交点分别为N M ,. 证明: 直线MN 过定点, 并求出定点.证: 设),(),,(),,4(22110y x N y x M y P . 则AP BP k yy k 363200=⋅==2211222221212211222)2(9)2(4)2()4(9223x x x x x x x x x y x y -+=+-⇒--=+-⇒-=+⇒ )1(08)(522121 =++-⇒x x x x .设)(:m x k y l MN -=.代入0422=-+y x 得042)1(22222=-+-+m k mx k x k .由韦达定理得,14,12222212221km k x x k m k x x +-=+=+ 代入(1)式并整理得 0)45(22=+-m m k . 当1,0=≠m k 或m =4(舍). 当0=k 时, 直线MN 即为AB . 所以, 直线MN 过点(1,0).另证: 设直线MN 与轴的交点为K (m , 0), 因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）,1)2)(2(416)4(20202=⇒-+--+=+-m m m y y m .4、： 已知21,A A 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点, P 为椭圆右准线上任一点,连接21,PA PA 分别交椭圆于M , N 两点, 求证: 直线MN 恒过椭圆的右焦点.证: 设MN 所在直线为m kx y +=,)0,(),0,(),,(),,(),,(21221102a A a A y x N y x M y ca P -由ax y a ca y +=+1120 212122220)()(a x y c a a c y +=+⇒ )1()(1122220 x a x a c a a c y +-=+⇒.同理有)2()(2222220 x a x a c a a c y -+=-,x由2121221212212122)()())(())(()()()2()1(x x x x a a x x x x a a x a x a x a x a c a c a +++++-=++--=+-⇒,)3()()(21212212 x x x x a a x x c a c++++=+⇒联立直线MN 与椭圆, 得0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x b k a ,由韦达定理有, 22222221222221)(,2b k a b m a x x b k a km a x x +-=+-=+,代入(3)得 22)()(m ak kmc a c --=+,kc m -=⇒. 所以直线MN 恒过椭圆的右焦点.例5：已知F 为椭圆12322=+y x 的右焦点, 过F 作两条互相垂直的弦AB , CD , 设M , N 分别为AB , CD 的中点, 求证: 直线MN 恒过定点, 求出定点坐标. 证明: 设AB 所在直线方程为: )1(-=x k y , 联立求解得 0636)32(2222=-+-+k x k x kkk ky k x k k y k k x N N M M322,323322,32322222+=+=⇒+-=+= )323()1(6)(10322)1(6)(102243243kkx k k k k k y k k k K MN +--+=++-+=当斜率不存在时, 直线MN 即为x 轴.令y =0, 53=⇒x . 直线MN 恒过定点)0,53(.注: 此题不难, 难在最后想到令y =0, 因为当斜率不存在时, 直线MN 即为x 轴.例6. 已知ABC ∆的三个顶点在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上, 坐标原点O 为ABC ∆的重心. 证明: ABC ∆的面积为定值.证法(一): 令)sin ,cos (),sin ,cos (ββααb a B b a A .则))sin (sin ),cos (cos (βαβα+-+-b a C . 由点C 在椭圆上, 代入得21)cos(1)sin (sin )cos (cos 22-=-⇒=+++βαβαβα.另一方面|cos sin sin cos |233βαβα⋅-⋅==∆∆ab S S ABO ABCab ab 433|)sin(|23=-=βα (定值). 证法(二): 记ABC ∆的面积为S . 对椭圆进行相应的仿射变换:⎪⎩⎪⎨⎧='='y by xa x 11 122='+'⇒y x . 变换后椭圆变换成单位圆, 椭圆内接ABC ∆变换为单位圆内接正三角形. 由仿射变换性质得|1001|1b aS =ab S 433=⇒ (定值).。