~ ~ ~ ~
~
~ ~~~ ~ ~ ~~~
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续
条件确定。
位移边界条件
光滑连续条件
AA
A AA A A AA A A
A AA AA A AAA A
A AAA A
wA 0
wA 0
A 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR
ALAR
wAL wAR
AL AR
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
对于平面弯曲，梁轴线在该平面内弯成一条平面曲线。
（2）挠度：
（截面形心的挠度）
某截面的形心在垂直于原轴线方向的位移为截面的挠度w 。
(3)转角：截面绕中性轴转过的角度,称为转角θ 。
7-2
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
挠度转角关系为：
转角
y 挠度
w
x
挠曲线
x
挠曲线方程：
w f (x)
w 向上为正
A
2）弯矩方程
F Ay x1
DC
ymax
B B x
F By
AC 段：
x2
M x1F Ax y1F l x b 1,0x1a
a
b
CB 段：
M x 2 F A x 2 yF ( x 2 a ) F lx 2 F b ( x 2 a ), a x 2 l
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
逆时针为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
tan dw
dx 讨论变形的关键在于：建立梁的挠曲线方程。
7-2
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
2.挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1M
ρ EI z
忽略剪力对变形的影响
1 M(x)
(x) EIz
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
E I6
26
6）确定最大转角和最大挠度
F l2
F l3
x l, m a xB2 E I, w m a xw B3 E I
目录
F Bx
B
§6-3 用积分法求弯曲变形
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
y
解 1）由梁整体平衡分析得：
F
A
F Ax 0,F Ay F l ,b F By F l a
a
b
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0x1 a
1E 1I[F 2b l x12F 6lb(l2b2)]
w 1E 1I[F 6lbx1 3F 6lb(l2b2)x1]
4）由边界条件确定积分常数 位移边界条件
x1=0, w1(0)=0 x2=l, w2(l)=0
光滑连续条件
x1x2a, 1(a)2(a)
x 1=x 2=a , w 1(a )=w 2(a )
代入求解，得
C1C2
1FblF3b
6
6l
D1 D2 0
y
F
A
A
D C B B x
F Ay
ymax
F By
x1
x2
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
y
FAx0, FAyF(), MA Fl(
2）写出x截面的弯矩方程
)A
x
yB
l
F Bx
B
M (x ) F ( l x ) F (x l)
3）列挠曲线近似微分方程并积分
EId2wM(x)F(xl) dx2
由数学知识可知：
1
d 2w dx2 [1 ( d w ) 2 ]3
dx
略去高阶小量，得
1 d 2w dx2
所以 d 2w M ( x) dx2 EIz
y M (x) > 0
M (x) > 0
d d
2dw2y xd2x 2
>
00
x
O
y M (x) < 0
M (x) < 0
d d
2dw2y xdx2 2
l
齿轮轴
轧钢
轧辊
钢板
P1 P2
轴变形→→齿轮不能正常啮合、 齿面磨损、轴与轴承配合不好， 出现噪音。
轧辊变形，钢板沿宽度 方向的厚度不均。
利用弯曲变形
汽车叠板弹簧
缓冲、减震
测力矩扳手
F 求解静不定梁则必须考虑梁的变形。
§6-2 挠曲线的微分方程
1.基本概念 y
转角
挠度
挠曲线
w
x
x
（1）挠曲线：弯曲后的梁轴线。（弹性曲线）
第六章 弯曲变形
目录
第六章 弯曲变形
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形 §6-5 简单超静定梁 §6-6 提高弯曲刚度的一些措施
目录
目录
§6-1 工程中的弯曲变形问题
为保证构件正常的工作，不但要求其具有足够 的强度，在某些情况下，还应有足够的刚度，即弯 曲变形不应过大，否则，将影响正常工作。
dx2
EIz
积分一次得转角方程为：
EIz
d2w dx2
M (x)
E Izd dw xE IzM (x)dxC
再积分一次得挠度方程为：
E Izw M (x )d x d x C x D
每段梁有C、D两个积分常数。
微分方程的原函数有无数个，而具体梁受力变形后挠曲线只有一个。
7-3
目录
~ ~
~~ ~
~
AC 段： 0x1 a
EIdd2xw121
=M(x1
Fb
)= l
x1
y
F
A
D C B B x
EId dw x1 1=EIθ(x1)=F 2lbx1 2+C1 EIw1=F 6lbx1 3+C1x1+D1
CB 段： a x2 l
A
F Ay
ymax
F By
x1
x2
a
b
EIdd2x w 2 22=M (x2)=F lbx2-F(x2-a)
积分一次 EIdwEI1F(xl)2C
dx
2
再积分一次 EIw1F(xl)3CxD
6
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0
代入求解
x0, wA 0
C1F2l, D1F3l
2
6
5）确定转角方程和挠度方程
y
AxyBBiblioteka l1[1F(xl)21Fl2]
EI 2
2
w 1[1F (xl)31F l2x1F l3]
E E I Iw d d 2 w x = 2 2F = 6 lb E x Iθ 2 3(-x F 6 2)(= x 2F 2 -lb a )x 32 2 + -C F 2 2x (2 x + 2-D a 2 )2+ 积为简C 2 分一化时个运，整算将体！（变量x2-，a）可作
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
<
00
x
O
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲
线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方
程为：
d 2w M (x) dx2 EIz
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程为：
d 2w M (x)