弯曲变形1. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为：(A) M e1/M e2=2； (B) M e1/M e2=3； (C) M e1/M e2=1/2； (D) M e1/M e2=1/3。

答：(C)2.致形状有下列(A)(B)、(C)，(D)四种： 答：(B)3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： (A)EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22SS ===；(B)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22SS =-=-=； (C)EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22SS -==-=；(D)EI x M xw q xF F x M )(d d ,d d ,d d 22SS -=-==。

答：(B)4. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示，自由端的挠度EIl M EI Fl w B 232e 3+=（↓）则截面C 处挠度为：(A)2e 3322323⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛l EI M l EI F （↓）；(B)233223/323⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl l EI F （↓）； (C)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）。

答：(C)5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。

答：6. 试画出图示梁的挠曲线大致形状。

(a)(a)(b)(c)7. 正方形截面梁分别按(a)、(b)两种形式放置，则两者间的弯曲刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)；(C) (a)=(b)； (D) 不一定。

答：(C)8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。

答：x =0, w 1=0,1w '=0；x =2a ，w 2=0，w 3=0；x =a ，w 1=w 2；x =2a ，32w w '='。

9. 试画出图示静定组合梁在集中力F 作用下挠曲线的大致形状。

(a)w ===θw w10. 画出图示各梁的挠曲线大致形状。

答：11. 作图示外伸梁的弯矩图及其挠曲线的大致形状。

12. 弯曲刚度为EI 的等截面外伸梁如图示。

当梁内任一纵向层总长度均不因其自重引起的弯曲而有所改变时,证明两支座间的距离应为l -2a =0.577l 。

⎢⎣⎡=⎰l Δ:提示证：令外伸端长度为a ，内跨长度为2b ，a l b -=2，因对称性，由题意有：⎰⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-===b b a l lx x q qbx EI w x qa x x q EI w x x M EI w x l 020202000d 2d 2d 2d )(d Δε得 a 3 + 3a 2b -2b 3 = 0 a 3 + a 2b + 2a 2b -2b 3 = 0 a 2 + 2ba -2b 2 = 0 b a )13(-=a lb -=2a = 0.211l即 l -2a = 0.577l 证毕。

13. 等截面悬臂梁弯曲刚度EI 为已知，梁下有一曲面，方程为w = -Ax 3。

欲使梁变形后与该曲面密合（曲面不受力），试求梁的自由端处应施加的载荷。

解：EIAx w EI x M 6)(-=''= F S (x ) = -6EIA x=l ， M = -6EIAlF =6EIA （↑），M e =6EIAl （14. 变截面悬臂梁受均布载荷ql 及弹性模量E 。

试求截面A 的挠度w A 解：x lhb h x b x I 1212)()(303== x h b ql x I x M w E 306)()(-=='' C x hb ql w E +-='2303 D Cx x h b ql Ew ++-=330 由边界条件0,='==w w l x 得3043032,3hb ql D h b ql C -==3042h Eb ql w A -=（↓） ，30338h Eb ql C =θ（）15. 在刚性圆柱上放置一长2R 、宽b 、厚h 的钢板，已知钢板的弹性模量为E 。

试确定在铅垂载荷q 作用下，钢板不与圆柱接触部分的长度l 及其中之最大应力。

解：钢板与圆柱接触处有 EIql R 2/12= 故 qREbh RqEIl 623==REhbh R EI bh ql W Mz 26//6/2/222====σ16. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示，试用积分法求梁的最大挠度及其挠曲线方程。

解：30)(6)(x l lqx M w EI --==''C x l l qw EI +--='40)(24D Cx x l lq EIw ++--=50)(120 120,244030l q D l q C -==12024)(120403050l q x l q x l l q EIw -+--=EIl q w 3040max -=（↓）17. 图示梁的左端可以自由上下移动，但不能左右移动及转动。

试用积分法求力F 作用处点A解：Fx Fl w EI -='' 3,03FlD C -==362332Fl x F x Fl EIw --=EIFl w A 33-=（↓）18. 简支梁上自A 至B 的分布载荷q (x )=-Kx 2，K 为常数。

试求挠曲线方程。

解：2)(Kx q x M -=='' 二次积分B Ax x K x M++=412)( x =0， M =0， B =0 x =l ， M =0， 123Kl A -=x Kl x K x M w EI 1212)(34-==''C x Kl x K w EI +-='2352460D Cx x Kl x K EIw ++-=33672360x =0， w =0， D =0 x =l ， w =0， 36045Kl C -=)45(3605336x l x l x EIKw +--=（↓） 19. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁原有微小初曲率，其方程为y =Kx 3。

现在梁B 端作用一集中力，如图示。

当F 力逐渐增面接触。

若作用力为F ，试求： （1）梁与水平面的接触长度； （2）梁B 端与水平面的垂直距离。

解：(1) 受力前C 处曲率Ka a 6)(11=ρ，弯矩M (a )1 = 0受力后C 处曲率0)(12=a ρ，弯矩M (a )2 = -F (l - a )1212)()()(1)(1a M a M a a -=-ρρ EIa l F Ka )(6--=- ⇒EIKF Fla 6+=(2)同理, 受力前x 1截面处0)(),(6d d )(111122111=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=x M x a K x y x xa x ρ受力后x 1截面处 )()(,d d )(1121211221x b F x M x y x --==ρEI x b F x a K x y )()(6d d 112112--=+-积分二次D Cx EIFx EI Fbx Kx Kax y +++-+=132131211623C =0，D =0 EIKF EIKla lb 66+=-=231)6()(361EIK F EI EIKl y y bx B +===20. 图示弯曲刚度为EID Cx Bx Ax qx EIw ++++-=23424式中A 、B 、C 、D 为积分常数。

试根据边界条件确定常数A 、B 、C 、D ，并绘制梁的剪力F S 、弯矩M 图。

解：x = 0，w = 0，D = 0 C Bx Ax qx w EI +++-='236230,0,0=='=C w xA qx x F w EI 6)(S +-=='''12,0,2S ql A F l x ===0,='=w l x 代入w '方程242ql B -=21. 已知承受均布载荷q 0的简支梁中点挠度为EIl q w 384540=，则图示受三角形分布载荷作用梁w C = 。

答：EIl q 768540（↓）22. 试用叠加法计算图示梁A 点的挠度w A 。

解：22)2/(3)2/(3)2/(233aEI a F EI a F EI a F w A ++= qlEIFa 48133=（↓）23. 试求图示梁BC 段中点的挠度。

解：EIa q EI a qa EI a qa w 384)2(53)3(3)(21433+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=EIqa8394=（↓）24. 已知梁的弯曲刚度EI 。

试用叠加法求图示梁截面C 的挠度w C 。

解：EI a a l q EI a l q EI l a l q EI ql w C 96)2(256)2(96)2(76853434⋅-+-+--= EIa l qa 96)23(222-=（↓）25. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数。

试用叠加法求图示梁B 截面的挠度和转角。

)(30244030↓==EIl q w EIl q B B θ解：EIl q EI l q EI l q w B 12011308404040=-=（↓）qB EI l /2l /2aA⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a l q 22C 2BEIl q EI l q EI l q B 8246303030=-=θ26. 试用叠加法求图示简支梁跨度中点解：⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+=EI l Fl EI l F EI l Fl EI l F w C 3)2/)(8/(16)2/(16)2/)(8/(248)2/(223EIFl l EI Fl EI Fl l EI l Fl 38474643768546)2/)(8/(333=⋅+=⎥⎦⎤+27. 试用叠加法求图示简支梁集中载荷作用点C 的挠度。

解： EIFlEI l F EI l F w w B B C 483)4/(413414333====（↓）28. 已知简支梁在均布载荷作用下跨中的挠度为EIqlw C 38454=，用叠加法求图示梁中点C 的挠度。

解： ()EIl q EIl q w C 76853842/54040=⋅=（↓）q /23q29. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示，试用叠加法求A 端的转角θA 。