弯曲变形1. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为： (A) M e1/M e2=2； (B) M e1/M e2=3； (C) M e1/M e2=1/2； (D) M e1/M e2=1/3。

答：(C)2. 外伸梁受载荷如图示，其挠曲线的大致形状有下列(A)、(B)、(C)，(D)四种： 答：(B)3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： (A)EI x M xw q xF F x M )(d d ,d d ,d d 22SS ===； (B)EI x M xw q x F F xM)(d d ,d d ,d d 22SS =-=-=； (C)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22SS -==-=；(D)EI x M x w q xF F x M )(d d ,d d ,d d 22SS -=-==。

答：(B)4. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示，自由端的挠度EIl M EI Flw B 232e3+=（↓）则截面C 处挠度为：(A)2e 3322323⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI M l EI F （↓）； (B)233223/323⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl l EI F （↓）；(C)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）。

答：(C)5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。

答：6. 试画出图示梁的挠曲线大致形状。

答：7. 正方形截面梁分别按(a)、(b)两种形式放置，则两者间的弯曲刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。

答：(C)8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。

答：x =0, w 1=0, 1w '=0；x =2a ，w 2=0，w 3=0；x =a ，w 1=w 2；x =2a ，32w w '='。

9. 试画出图示静定组合梁在集中力F 作用下挠曲线的大致形状。

答：10. 画出图示各梁的挠曲线大致形状。

答：11.12. 座间的距离应为l -2a =0.577l 。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰llx w x l 00d d Δ:提示ρε证：令外伸端长度为a ，跨长度为2b ，a l b -=2，因对称性，由题意有：得 a 3+ 3a 2b -2b 3= 0 a 3+ a 2b + 2a 2b -2b 3= 0 a 2+ 2ba -2b 2= 0 a = 0.211l即 l -2a = 0.577l 证毕。

13. 等截面悬臂梁弯曲刚度EI 为已知，梁下有一曲面，方程为w = -Ax 3。

欲使梁变形后与该曲面密合（曲面不受力），试求梁的自由端处应施加的载荷。

解：EIAx w EI x M 6)(-=''= F S (x ) = -6EIA x=l ， M = -6EIAlF =6EIA （↑），M e =6EIAl （）14. 变截面悬臂梁受均布载荷q 作用，已知q 、梁长l 及弹性模量E 。

试求截面A 的挠度w A 和截面C 的转角θC 。

解：x lh b h x b x I 1212)()(303== 由边界条件0,='==w w l x 得3043032,3h b ql D h b ql C -== 3042h Eb ql w A -=（↓） ， 30338h Eb ql C =θ（）15. 在刚性圆柱上放置一长2R 、宽b 、厚h 的钢板，已知钢板的弹性模量为E 。

试确定在铅垂载荷q 作用下，钢板不与圆柱接触部分的长度l 及其中之最大应力。

解：钢板与圆柱接触处有 EIql R 2/12=故 qREbh RqEI l 623==16. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示，试用积分法求梁的最大挠度及其挠曲线方程。

解：30)(6)(x l lq x M w EI --=='' 12024)(120403050l q x l q x l l q EIw -+--= EIl q w 3040max -=（↓）17. 图示梁的左端可以自由上下移动，但不能左右移动及转动。

试用积分法求力F 作用处点A 下降的位移。

解：Fx Fl w EI -=''EIFl w A 33-=（↓）18. 简支梁上自A 至B 的分布载荷q (x )=-Kx 2，K 为常数。

试求挠曲线方程。

解：2)(Kx q x M -==''二次积分 B Ax x Kx M ++=412)(x =0， M =0， B =0x =l ， M =0， 123Kl A -=x =0， w =0， D =0x =l ， w =0， 36045Kl C -=)45(3605336x l x l x EIKw +--=（↓） 19. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁原有微小初曲率，其方程为y =Kx 3。

现在梁B 端作用一集中力，如图示。

当F 力逐渐增加时，梁缓慢向下变形，靠近固定端的一段梁将与刚性水平面接触。

若作用力为F ，试求： （1）梁与水平面的接触长度； （2）梁B 端与水平面的垂直距离。

解：(1) 受力前C 处曲率Ka a 6)(11=ρ，弯矩M (a )1 = 0受力后C 处曲率0)(12=a ρ，弯矩M (a )2 = -F (l - a ) (2)同理,受力前x 1截面处0)(),(6d d )(111122111=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=x M x a K x y x x a x ρ受力后x 1截面处 )()(,d d )(1121211221x b F x M x y x --==ρ积分二次 D Cx EIFx EI Fbx Kx Kax y +++-+=132131211623 C =0， D =020. 图示弯曲刚度为EI 的两端固定梁，其挠度方程为式中A 、B 、C 、D 为积分常数。

试根据边界条件确定常数A 、B 、C 、D ，并绘制梁的剪力F S 、弯矩M 图。

解：x = 0，w = 0，D = 0 0,='=w l x 代入w '方程 242ql B -=21. 已知承受均布载荷q 0的简支梁中点挠度为EIl q w 384540=，则图示受三角形分布载荷作用梁中点C 的挠度为w C = 。

答：EIl q 768540（↓）22. 试用叠加法计算图示梁A 点的挠度w A 。

解：22)2/(3)2/(3)2/(233aEI a F EI a F EI a F w A ++= EIFa 48133=（↓）23. 试求图示梁BC 段中点的挠度。

解：EIa q EI a qa EI a qa w 384)2(53)3(3)(21433+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=EIqa 8394=（↓）24. 已知梁的弯曲刚度EI 。

试用叠加法求图示梁截面C 的挠度w C 。

解：EIa a l q EI a l q EI l a l q EI ql w C 96)2(256)2(96)2(76853434⋅-+-+--= EIa l qa 96)23(222-=（↓）25. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数。

试用叠加法求图示梁B 截面的挠度和转角。

解： EIl q EI l q EI l q w B 12011308404040=-=（↓）EIl q EI l q EI l q B 8246303030=-=θ（）26. 试用叠加法求图示简支梁跨度中点C 的挠度。

解：EIFl l EI Fl EI Fl l EI l Fl 38474643768546)2/)(8/(333=⋅+=⎥⎦⎤+（↓）27. 试用叠加法求图示简支梁集中载荷作用点C 的挠度。

解：EIFl EI l F EI l F w w B B C 483)4/(413414333====（↓）28. 已知简支梁在均布载荷作用下跨中的挠度为EIql w C 38454=，用叠加法求图示梁中点C 的挠度。

解： ()EIl q EIl q w C 76853842/54040=⋅=（↓）29. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示，试用叠加法求A 端的转角θA 。

解：x EIl x q A d 2d 240=θ EI l q x x EIl q lA 10d 2304020==⎰θ（）30. 弯曲刚度为EI 的等截面梁受载荷如图示，试用叠加法计算截面C 的挠度w C 。

解：EIl q q EI l q q w C 768)(53842/)(5421421+=⋅+⋅=（↓）31. 如图所示两个转子，重量分别为P 1和P 2，安装在刚度分别为EI 1及EI 2的两个轴上，支承轴是A 、B 、C 、D 四个轴承。

B 、C 两轴承靠得极近以便于用轴套将此两轴连接在一起。

如果四个轴承的高度相同，两根轴在B 、C 处连接时将出现“蹩劲”现象。

为消除此现象可将A 处轴承抬高，试求抬高的高度。

解： 121116EI l P B ⋅=θ， 222216EI l P C ⋅=θ点A抬高的高度为 2122213111616EI l l P EI l P ⋅⋅+32. 图示梁AB 的左端固定，而右端铰支。

梁的横截面高度为h ，弯曲刚度为EI ，线膨胀系数为l α，若梁在安装后，顶面温度为t 1，底面温度为t 2（t 2＞t 1），试求此梁的约束力。

解：因温度变化而弯曲的挠曲线微分方程为ht t x w x l )(d d d d 1222-==αθ 由A 处边界条件得 2122)(x ht t w l -=α而 EIl F w B BFB33=33. 图示温度继电器中两种金属片粘结的组合梁，左端固定，右端自由。

两种材料的弹性模量分别为E 1与E 2。

线膨胀系数分别为1l α与2l α，并且1l α＞2l α。

试求温度升高t ℃时在B 端引起的挠度。

解：1l α＞2l α，梁上凸下凹弯曲 平衡条件 F N1 = F N2 = F N M 1 + M 2 = F N h 变形协调 θ1 =θ2，2211E M E M =ε1 =ε2，即ε1N +ε1M +ε1t =ε2N +ε2M +ε2t得t I E hM A E F t I E h M A E F l l 222222N21111111N 22αα+-=+-其中 A 1 = A 2 = bh ，I 1 = I 2 =123bh则 F N1 = F N2 =21222121212114)()(E E E E E E E tbhE l l +++-αα M 1 =21222122122114)(E E E E E E tbh l l ++-αα M 2 =21222122122114)(E E E E E E tbh l l ++-αα故 )14()(222122212212122221121E E E E h l E tE b I E l M I E l M w l l B ++-===αα 34. 单位长度重量为q ，弯曲刚度为EI 的均匀钢条放置在刚性平面上，钢条的一端伸出水平面一小段CD ，若伸出段的长度为a ，试求钢条抬高水平面BC 段的长度b 。