一.基本概念
y
x
转角 挠度
1、挠曲线方程：
挠曲线
f(x)
2、挠度ω：截面形 心在y方向的位移 x
ω 向上为正
3、转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆时针为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
4、挠度转角关系为： tan d
dx
h
7
6-2
目录
二、挠曲线的近似微分方程
力学公式 数学公式
以上两式消去 1
解： 1、求支座反力
FAy
Fb , L
FBy
Fa L
2、分段列出梁的弯矩方程
y
x
F
x A
a
C
B
b
x
L
F By
F Ay
AC段 (0xa)
BC段 (axL)
Fb M1(x)FAx Lx,
EIy1
Fb x, L
M2(x)F LbxF(xa), EyI2 FLbxF(xa),
h
20
目录
AC段 (0xa)
可解得：
xa时y1 ， y2
（3） （4）
C1
Fb(L2 6L
b2)
C2
h
,
D1D2 0
21
目录
则简支梁的转角方程和挠度方程为
AC段 (0xa)
BC段 (axL)
1(x)6L FE b[3xI2(L2b2)], 2(x )6 L F[ E b 3 x2 I(L 2 b 2) ]F (x2 a )2,
x L
x
2
2、
d 2y dx 2
M (x) EI z
EIy 1qx2 2
积分一次： EyIEI1qx3C （1）
6
积分二次：
EIy1qx4CxD （2）
24 h
17
目录
3、确定常数C、D.
由边界条件： xL,0代入（1）得： C 1 qL3
6
xL,y0代入（2）得： D 1 qL4
8
代入（1）（2）得：
Ey1 IEI12 FLb x2C1,
EI1 y6 FLb x3C1xD1, 3、确定常数
BC段 (axL)
E y2 I E2I2 F Lxb 2F 2(x a )2 C 2,
E2I6 F yLxb 3F 6(x a )3 C 2xD 2,
由边界条件： x0,wA0 （1） xL,yB0 （2）
由光滑连续条件： xa时， 12
续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转
角；在中间铰两侧虽然转角不同，但挠度却是唯
一的。
M
A
C
B
a
l
x0,yA0, x0,A0,
xal,yB0, xa时yC ， 左 yC 右
h
16
目录
例6-1悬臂梁受力如图所示。求 y A 和 A 。
解： 取参考坐标系Axy。
y
q
B
1、列出梁的弯矩方程
A
M(x)1qx2 (0xL)
由dy 0求得 ymax 的位置值x。
dx
AF(b6LL2Eb2I)0,
C1x aF3 L (a a E b b ) I 0 ( a b )
则由 解得：
0在AC段。
1(x)6L FE b [3x2 I(L 2b2) ]0
x L2 b2 3
h
23
目录
代入 y1(x) 得：
3
ymaxFb(9L23EbI2)2
若a b L 则： 2
ym ax yxL 2
FL3 48EI
在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外）， ym可ax 用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。
h
24
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
一、叠加法前提
力与位移之间的线性关系 挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系
1 M(x)
(x) EIz
1
(x)
d2y dx 2
[1
(
d
y
)
2
]
3 2
dx
，得：
d 2y dx 2
[1
( dy
3
)2]2
M (x) EI z
dx h
8
目录
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
小挠度情形下： dy 1
dx
d 2y dx 2
[1
( dy
3
)2]2
dx
M (x)
EI z
d2 y M(x) dx2 EIz
积分二次：
yM E(xzI)ddxxC xD
（转角方程） （挠度方程）
式中C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。
h
11
目录
梁的边界条件 y
A
Bx
y A
L
B x
悬臂梁：
x 0 时A ， 0 ,y A 0 .
简支梁：
x0时y， A0, xL时y， B0.
h
12
目录
梁的连续条件：
A
P
C
B
fC左 fC右
C左
C右
M
A
C
B
a
l
xa时yC ， 左 yC 右
h
13
目录
例如：写出下图的边界条件、连续性条件：
y
F
D
A
C
a
b
L
x0,yA0
B kx A
h F EA
C
a
L
bB
xa时C ， 左 C 右
x0,yA0
xa时yC ， 左 yC 右
xa时C ， 左 C 右
x
L,
yB
FBy k
xa时yC ， 左 yC 右
y1(x)6 L FE [b xI3(L 2b2)x], y 2 (x ) 6 L F[E b x 3 I (L 2 b 2 )x L 6 (x a )3 ]
4、求转角
x0代入得：
A1x0F(6bLL2Eb2I)
x L代入得：
B2xLF6aL (Lb Ea)I
h
22
目录
5、求 ymax 。
h
xL,yB lBD
F h By14 EA
讨论：挠曲线分段处 （1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点； （3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两
部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
M
A
C
B
a
l
h
15
目录
（4）凡分段点处应列出连续条件，根据梁的变形的连
h
9
目录
符号规定： M0
y
d2y dx 2 0
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
y M0
d2 dxy2来自0MM
因此
d2y dx2
M (x) EI z
（挠曲线的近似微分方程）
h
10
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
由挠曲线的近似微分方程
积分一次：
d2y dx2
M (x) EI z
d dyxyM E(xzI)dxC
第六章 弯曲变形
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形 §6-5 简单超静定梁 §6-6 提高梁刚度的措施
目录
h
1
目录
§6-1 工程中的弯曲变形问题
h
2
目录
h
3
目录
h
4
目录
h
5
目录
h
6
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
1(1qx31q3L)
EI 6 6
y1(1q4xq3Lxq4L) EI 24 6 8
h
18
目录
将 x0 代入得：
因此
A
qL 3 6 EI
yA
qL4 8EI
（与C比较知E：IA C）
（与D比较知：EIyA D）
常数C表示起始截面的转角×刚度(EI)
常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)
h
19
目录
例6-2 一简支梁受力如图所示。试求 (x),w(x)和 A,wmax 。