2020—2021学年度上学期高二年级期末考试数学科试卷 命题学校：大连第二十四中学 命题人：张宁 校对人：卢静
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A ．OA 、O
B 、O
C 共线
B ．OA 、OB 共线
C ．OB 、OC 共线
D ．O 、A 、B 、C 四点共面 2．3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A ．77A
B ．4343A A +
C ．4343A A
D ．4345A A
3．ABC ∆的顶点分别为(112)A -，
，、(562)B -，，、(131)C -，，，则AC 边上的高BD 的长为（ ）
A ．2
B
C ．5
D ．6 4．如图所示，设
E 、
F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱CD 上两点，且2AB =、1EF =，其中正确的命题为（ ）
A ．异面直线11
B D 与EF 所成的角为45B ．异面直线11B D 与EF 所成的角为30
C ．直线11B
D 与平面1B EF 所成的角为45D ．直线11B D 与平面1B EF 所成的角为60
5．在50的展开式中有理项的项数是（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
6．已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(2)A -，3、()21B --，
、(61)C -，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（ ）
A ．221x y +=或22165x y +=
B ．221x y +=或2237x y +=
C ．22165
x y +=或224x y += D ．224x y +=或2237x y += 7.已知抛物线24y x =上的点P 到2=-x 的距离为1d ，到直线3490x y -+=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（ ）
A.175
B.115
C.3
D.5
8．已知,,A B C 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）
A ．53
B ．3
C ．2
D ．94
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分）
9．过点(23)P ，
，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（ ） A ．50x y +-=B ．240x y +-=C ．320x y -= D ．4250x y -+=
10. 正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论正确的有（ ）
A ．AD 与BC 所成的角为30
B ．A
C 与B
D 所成的角为90︒
C ．BC 与面ACD
D ．平面ABC 与平面BCD
11．在()8
21x -的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A ．展开式中所有项的系数和为82
B ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C ．展开式中二项式系数的最大项为第五项
D ．展开式中含3x 项的系数为448-
12．设椭圆22
193
x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则下述结论正确的是（ ）
A ．AF +BF 为定值
B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]
C ．当m =
时，△ABF 为直角三角形
D ．当m =1时，△ABF
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知F 是抛物线28C y x =：的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |= .
14.如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点.用1
,,AB AD OA 表示1OC ，则1OC ＝________.
15．某地区高考改革，实行“312++”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 .（用数字作答）
16．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，点()00,P x y 是直线20bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为 .
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（10分）
已知()72701271mx a a x a x a x +=++++中，且335a =-.
（1）求m 的值；
（2）求1357||||||||+++a a a a 的值.
18.（12分） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，BC AC ⊥，13AC BC CC ===，
113
AE AA =，1113C F CC =.
（1）求直线1AC 与面11A FB 所成角的正弦值；
（2）求二面角11A FB A --的余弦值.
19.（12分）
已知直线l 过点P (2，3)且与定直线l 0：y =2x 在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记∆AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点B (a ，0).
（1）求实数a 的取值范围；
（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程.
20．（12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，且2CD =，1AB =，
BC =1PA =，AB BC ⊥，N 为PD 的中点．
（1）求证：//AN 平面PBC ；
（2）在直线PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的余弦值为
26，若存在，求出DM DP 的值；若不存在，说明理由．
21．（12分）
已知动点M 到定点1(0,)4
F 的距离比到x 轴距离大14, （1）求动点M 的轨迹方程C ；
（2）过F 作互相垂直的直线与l m 交轨迹C （0≥y ）于P 、Q 两点及S 、T 两点，A ，B 分别是弦PQ 、ST 的中点，当|AB|=1时，求直线与l m 的方程。

22.（12分）
已知曲线()22
122:10x y C a b a b
+=>>的短轴长为22:=C y ，1C 的一个焦点在2C 的准线上.
（1）求曲线1C 的方程；
（2）设曲线1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，若过点1F 的直线l 与曲线1C 的y 轴左侧部分（包含1C 与y 轴的交点）交于A ，B 两点，直线2AF 与曲线2C 交于C ，D 两点，直
线2BF 与曲线2C 交于E ，F 两点，试求CD EF 的取值范围.。