C．2
D．4
[答案] C
[解析] (1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－3x)5，
故(1＋2x)3(1－3x)5 的展开式中含 x 的项为 1×C35(－3x)3＋12xC05＝
－10x＋12x＝2x，所以 x 的系数为 2.
5．在 2x3＋1x2n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则 n 的最小值
由 C45•a＝10，得 a＝2.
9．若(1＋2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项，则 x 的取值
范围是( )
A.112＜x＜15 B.16＜x＜15
C.112＜x＜23 D.16＜x＜25
[答案] A
[解析] 由 T2>T1T2>T3 得 C162x>1C162x>C26(2x)2∴112＜x＜15.
[答案] D
[解析] x5 应是(1＋x)10 中含 x5 项与含 x2 项．
∴其系数为 C510＋C210(－1)＝207.
7．(2009•北京)在 x2－1xn 的展开式中，常数项为 15，则 n 的一个值
可以是( )
A．3
B．4
C．5
D．6Leabharlann [答案] D[解析] 通项 Tr＋1＝Cr10(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，常数项
故 r 为偶数，20－r 是 3 的倍数，0≤r≤20.
∴r＝2,8,14,20. 二、填空题 11．(1＋x＋x2)•(1－x)10 的展开式中，x5 的系数为____________． [答案] －162 12．(1＋x)2(1－x)5 的展开式中 x3 的系数为________． [答案] 5 [解析] 解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3•(1－x2)2＝(1－x)3(1 ＋x4－2x2)，展开式中 x3 的系数为－1＋(－2)•C13(－1)＝5； 解法二：C35(－1)3＋C12•C25(－1)2＋C22C15(－1)＝5. 13．若 x2＋1ax6 的二项展开式中 x3 的系数为 52，则 a＝________(用 数字作答)． [答案] 2 [解析] C36(x2)3•1ax3＝20a3x3＝52x3，∴a＝2. 14．(2010•辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－1x)6 的展开式中的常数项为 ________． [答案] －5 [解析] (1＋x＋x2)x－1x6 ＝x－1x6＋xx－1x6＋x2x－1x6， ∴要找出 x－1x6 中的常数项，1x 项的系数，1x2 项的系数，Tr＋1＝ Cr6x6－r(－1)rx－r＝Cr6(－1)rx6－2r， 令 6－2r＝0，∴r＝3， 令 6－2r＝－1，无解．
A．－27C610 B．27C410
C．－9C610 D．9C410
[答案] D
[解析] ∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令 10－r＝6，
解得 r＝4.∴系数为(－3)4C410＝9C410.
4．(2010•全国Ⅰ理，5)(1＋2x)3(1－3x)5 的展开式中 x 的系数是( )
A．－4 B．－2
是 15，则 2n＝3r，且 Crn＝15，验证 n＝6 时，r＝4 合题意，故选 D.
8．(2010•陕西理，4)(x＋ax)5(x∈R)展开式中 x3 的系数为 10，则实数
a 等于( )
A．－1 B.12
C．1
D．2
[答案] D
[解析] Cr5•xr(ax)5－r＝Cr5•a5－rx2r－5，令 2r－5＝3，∴r＝4，
∴系数最大项为第 3 项 T3＝7•x35 和第 4 项 T4＝7•x74.
10．在 32x－1220 的展开式中，系数是有理数的项共有( )
A．4 项 B．5 项
C．6 项 D．7 项
[答案] A
[解析] Tr＋1＝Cr20(32x)20－r－12r＝－22r•(32)20－rCr20•x20－r，
∵系数为有理数，
∴(2)r 与 220－r3 均为有理数，
∴r 能被 2 整除，且 20－r 能被 3 整除，
二项式定理练习题及答案解析
一、选择题
1．二项式(a＋b)2n 的展开式的项数是( )
A．2n
B．2n＋1
C．2n－1
D．2(n＋1)
[答案] B
2．(x－y)n 的二项展开式中，第 r 项的系数是( )
A．Crn
B．Cr＋1n
C．Cr－1n D．(－1)r－1Cr－1n
[答案] D
3．在(x－3)10 的展开式中，x6 的系数是( )
令 6－2r＝－2，∴r＝4. ∴常数项为－C36＋C46＝－5. 三、解答题 15．求二项式(a＋2b)4 的展开式． [解析] 根据二项式定理 (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbnn 得 (a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a(2b)3＋C44(2b)4＝ a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4. 16．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n 展开式中 x 的系数为 19，求 x2 的系数的最小值及此时展开式中 x7 的系数． [解析] 由题设 m＋n＝19，∵m，n∈N*. ∴m＝1n＝18，m＝2n＝17，…，m＝18n＝1. x2 的系数 C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171. ∴当 m＝9 或 10 时，x2 的系数取最小值 81，此时 x7 的系数为 C79＋ C710＝156. 17．已知在(3x－123x)n 的展开式中，第 6 项为常数项． (1)求 n； (2)求含 x2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [解析] (1)Tr＋1＝Crn•(3x)n－r•(－123x)r ＝Crn•(x13)n－r•(－12•x－13)r ＝(－12)r•Crn•xn－2r3.
∵第 6 项为常数项， ∴r＝5 时有 n－2r3＝0，∴n＝10. (2)令 n－2r3＝2，得 r＝12(n－6)＝2， ∴所求的系数为 C210(－12)2＝454. (3)根据通项公式，由题意得：10－2r3∈Z0≤r≤10r∈Z 令 10－2r3＝k(k∈Z)，则 10－2r＝3k， 即 r＝10－3k2＝5－32k. ∵r∈Z，∴k 应为偶数，∴k 可取 2,0，－2， ∴r＝2,5,8，∴第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项． 它们分别为 C210•(－12)2•x2，C510(－12)5， C810•(－12)8•x－2. 18．若 x＋124xn 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系 数最大的项． [解析] 通项为：Tr＋1＝Crn•(x)n－r•124xr. 由已知条件知：C0n＋C2n•122＝2C1n•12，解得：n＝8. 记第 r 项的系数为 tr，设第 k 项系数最大，则有： tk≥tk＋1 且 tk≥tk－1. 又 tr＝Cr－18•2－r＋1，于是有： Ck－18•2－k＋1≥Ck8•2－kCk－18•2－k＋1≥Ck－28•2－k＋2 即 8！(k－1)！•(9－k)！×2≥8！k！(8－k)！，8！(k－1)！•(9－k)！≥8！ (k－2)！•(10－k)！×2. ∴29－k≥1k，1k－1≥210－k.解得 3≤k≤4.
是( )
A．3
B．5
C．8
D．10
[答案] B
[解析] Tr＋1＝Crn(2x3)n－r1x2r＝2n－r•Crnx3n－5r.
令 3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.
∴n 的最小值为 5.
6．在(1－x3)(1＋x)10 的展开式中 x5 的系数是( )
A．－297 B．－252
C．297 D．207