函数的单调性课后练习题
1.下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝1
x
2
B ．y ＝x 3
C ．y ＝x 0
D ．y ＝x 2
答案：D
2．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( )
A.
f x 1－f x 2
x 1－x 2
>0
B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0
C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.
x 1－x 2
f x 1－f x 2
>0
解析：由增函数的定义易知A 、B 、D 正确，故选C. 答案：C
3．若区间(0，＋∞)是函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝a x
的递减区间，则a 的取值范围是( )
A ．a >0
B ．a >1
C ．0≤a ≤1
D ．0<a <1
解析：由二次函数及反比例函数的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧
a －1<0，a >0，
∴0<a <1. 答案：D
4．若二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，那么( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2
D ．a ≥2
解析：函数的对称轴x ＝1－a 3，由题意得1－a
3≥1时，函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区
间(－∞，1)上为减函数，故得a ≤－2.
答案：C
5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上具有单调性，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，
b ]上( )
A ．至少有一个实根
B ．至多有一个实根
C ．没有实根
D ．有唯一的实根
解析：∵f (x )是单调函数，且图象是连续不断的，又f (a )f (b )<0，则f (x )的图象必与x 轴相交，因此f (x )在[a ，b ]上必存在一点x 0，使f (x 0)＝0成立，故答案D 正确．
答案：D
6．已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
34的大小关系是__________．
解析：∵a 2－a ＋1＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
34. 答案：f (a 2－a ＋1)≤f
⎝ ⎛⎭
⎪⎫34 7．(2011·潍坊模拟)函数y ＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2,2]时，是增函数，则m 的取值范围是________．
解析：∵函数y ＝2x 2－mx ＋3是开口向上的抛物线，要使x ∈[－2,2]时为增函数，只要对称轴x ＝－－m
2×2
≤－2，即m ≤－8.
答案：m ≤－8
8．函数y ＝|3x －5|的递减区间是________．
解析：y ＝|3x －5|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3x －5，x ≥53
，
－3x ＋5，x <5
3.
作出y ＝|3x －5|的图象，如图所示，函数的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤
－∞，53.
答案：⎝
⎛⎦⎥⎤
－∞，53
9．判断函数f (x )＝
x ＋1x －1
在(－∞，0)上的单调性，并用定义证明．
解：f (x )＝
x ＋1x －1
＝
x －1＋2x －1
＝1＋
2
x －1
，
函数f (x )＝
x ＋1x －1
在(－∞，0)上是单调减函数．
证明：设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个值，
且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝1＋2
x 2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1－1＝2x 1－x 2
x 1－1x 2－1
，
∵x 1<x 2<0，∴x 1－x 2<0，x 1－1<0，x 2－1<0， ∴
2x 1－x 2
x 1－1x 2－1
<0.
∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)． ∴函数f (x )＝
x ＋1x －1
在(－∞，0)上是单调减函数．
10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，
且f (x －2)>f (1－x )，求x 的取值范围．
解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤x －2≤1，
－1≤1－x ≤1，
解得1≤x ≤2.
∵f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (x －2)>f (1－x )， ∴x －2>1－x ，∴x >3
2
.
由⎩⎪⎨⎪⎧
1≤x ≤2，x >3
2
，得3
2
<x ≤2. 故满足条件的x 的取值范围是3
2
<x ≤2.
品位高考
1.(全国卷)设f (x )，g (x )都是单调函数，下列四个命题，正确的是( )
①若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增；②若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增；③若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．②④
答案：C 2．(湖南高考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝
a
x ＋1
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取
值范围是( )
A ．(－1,0)∪(0,1)
B ．(－1,0)∪(0,1]
C ．(0,1)
解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，当a ≤1时，f (x )在[1,2]上是减函数；g (x )＝a
x ＋1
，
当a >0时，g (x )在[1,2]上是减函数，则a 的取值范围是0<a ≤1.
答案：D
备课资源
1.下列说法中正确的有( )
①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上不是单调函数； ③函数y ＝－1
x
在定义域内是增函数；
④y ＝1
x
的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：函数的单调性定义是指定义在I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意性，从而①不对；y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性，故②正确．y ＝－1
x
在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5，而f (－
3)>f (5)，从而③不对；y ＝1
x
的单调区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，而不是(－∞，0)∪(0，＋
∞)，从而④不对．
答案：B
2．(2007·福建)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范
围是( )
A ．(－1,1)
C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：依题意得⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
1x >1，∴|x |<1，且x ≠0，
∴－1<x <1且x ≠0，因此答案C 正确． 答案：C
3．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋1，x ≥1，
5－x ，x <1，则f (x )的递减区间是________．
答案：(－∞，1)
4．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f (x )<f (2x －3)，求x 的取值范围．
解：由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
x >2x －3x >0
2x －3>0
⇒3
2
<x <3. 5．已知f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，判断f (x )的单调性并证明． 解：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝x 13＋x 1－(x 23＋x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋
x 2
2
)2＋
34
x 22＋1]<0
∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．。